线性代数公式大全.pdf

1、1 线性代数公式大全线性代数公式大全 1 行列式 1 n行列式共有 2 n个元素 展开后有 n项 可分解为2n行列式 2 代数余子式的性质 ij A和 ij a的大小无关 某行 列 的元素乘以其它行 列 元素的代数余子式为 0 某行 列 的元素乘以该行 列 元素的代数余子式为A 3 代数余子式和余子式的关系 1 1 ijij ijijijij MAAM 4 设n行列式D 将D上 下翻转或左右翻转 所得行列式为 1 D 则 1 2 1 1 n n DD 将D顺时针或逆时针旋转90o 所得行列式为 2 D 则 1 2 2 1 n n DD 将D主对角线翻转后 转置 所得行列式为 3 D 则 3 D

2、D 将D主副角线翻转后 所得行列式为 4 D 则 4 DD 5 行列式的重要公式 主对角行列式 主对角元素的乘积 副对角行列式 副对角元素的乘积 1 2 1 n n 上 下三角行列式 主对角元素的乘积 和 副对角元素的乘积 1 2 1 n n 拉普拉斯展开式 AOAC A B CBOB 1 m n CAOA A B BOBC g 范德蒙行列式 大指标减小指标的连乘积 特征值 6 对于n阶行列式A 恒有 1 1 n nkn k k k EAS 其中 k S为k阶主子式 7 证明0A 的方法 AA 反证法 构造齐次方程组0Ax 证明其有非零解 利用秩 证明 r An 证明 0 是其特征值 2 矩阵

3、 1 A是n阶可逆矩阵 0A 是非奇异矩阵 r An 是满秩矩阵 A的行 列 向量组线性无关 齐次方程组0Ax 有非零解 n bR Axb 总有唯一解 A与E等价 A可表示成若干个初等矩阵的乘积 2 A的特征值全不为 0 T A A是正定矩阵 A的行 列 向量组是 n R的一组基 A是 n R中某两组基的过渡矩阵 2 对于n阶矩阵A AAA AA E 无条件恒成立 3 1 111 TTTT AAAAAA 111 TTT ABB AABB AABB A 4 矩阵是表格 推导符号为波浪号或箭头 行列式是数值 可求代数和 5 关于分块矩阵的重要结论 其中均A B可逆 若 1 2 s A A A A

4、O 则 12s AA AA L 1 1 1 12 1 s A A A A O 1 1 1 AOAO OBOB 主对角分块 1 1 1 OAOB BOAO 副对角分块 1 111 1 ACAA CB OBOB 拉普拉斯 1 1 111 AOAO CBB CAB 拉普拉斯 3 矩阵的初等变换与线性方程组 1 一个m n 矩阵A 总可经过初等变换化为标准形 其标准形是唯一确定的 r m n EO F OO 等价类 所有与A等价的矩阵组成的一个集合 称为一个等价类 标准形为其形状最简单的矩阵 对于同型矩阵A B 若 r Ar BAB 2 行最简形矩阵 只能通过初等行变换获得 每行首个非 0 元素必须为

5、 1 每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0 3 初等行变换的应用 初等列变换类似 或转置后采用初等行变换 若 r A EE X 则A可逆 且 1 XA 对矩阵 A B做初等行变化 当A变为E时 B就变成 1 A B 即 1 c A BE A B 求解线形方程组 对于n个未知数n个方程Axb 如果 r A bE x 则A可逆 且 1 xA b 4 初等矩阵和对角矩阵的概念 初等矩阵是行变换还是列变换 由其位置决定 左乘为初等行矩阵 右乘为初等列矩阵 3 1 2 n O 左乘矩阵A i 乘A的各行元素 右乘 i 乘A的各列元素 对调两行或两列 符号 E i j 且 1 E i jE i

6、j 例如 1 11 11 11 倍乘某行或某列 符号 E i k 且 1 1 E i kE i k 例如 11 1 1 0 1 1 kk k 倍加某行或某列 符号 E ij k 且 1 E ij kE ijk 如 1 11 11 0 11 kk k 5 矩阵秩的基本性质 0 min m n r Am n T r Ar A 若AB 则 r Ar B 若P Q可逆 则 r Ar PAr AQr PAQ 可逆矩阵不影响矩阵的秩 max r A r Br A Br Ar B r ABr Ar B min r ABr A r B 如果A是m n 矩阵 B是n s 矩阵 且0AB 则 B的列向量全部是齐次

7、方程组0AX 解 转置运算后的结论 r Ar Bn 若A B均为n阶方阵 则 r ABr Ar Bn 6 三种特殊矩阵的方幂 秩为 1 的矩阵 一定可以分解为列矩阵 向量 行矩阵 向量 的形式 再采用结合律 型如 1 01 001 ac b 的矩阵 利用二项展开式 二项展开式 011 1111 0 n nnnmn mmnnnnmmn m nnnnnn m abC aC abC abCa bC bC a b LL 注 nab 展开后有1n 项 0 1 1 1 1 2 3 L L g g g L g mn nnn n nnmn CCC mm nm 组合的性质 11 11 0 2 n mn mmmm

8、rnrr nnnnnnnn r CCCCCCrCnC 利用特征值和相似对角化 7 伴随矩阵 伴随矩阵的秩 1 1 0 1 nr An r Ar An r An 4 伴随矩阵的特征值 1 AA AXX AA AA XX 1 AA A 1 n AA 8 关于A矩阵秩的描述 r An A中有n阶子式不为 0 1n 阶子式全部为 0 两句话 r An A中有n阶子式全部为 0 r An A中有n阶子式不为 0 9 线性方程组 Axb 其中A为m n 矩阵 则 m与方程的个数相同 即方程组Axb 有m个方程 n与方程组得未知数个数相同 方程组Axb 为n元方程 10 线性方程组Axb 的求解 对增广矩阵

9、B进行初等行变换 只能使用初等行变换 齐次解为对应齐次方程组的解 特解 自由变量赋初值后求得 11 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程 11112211 21122222 1122 nn nn mmnmnn a xa xa xb a xa xaxb axaxaxb L L L L L L L L L L L L L L 1112111 2122222 12 n n mmmnmm aaaxb aaaxb Axb aaaxb L L MMOMMM L 向量方程 A为m n 矩阵 m个方程 n个未知数 1 2 12n n x x aaa x L M 全部按列分块 其中 1 2 n b b

10、b M 1122nn a xa xa x L 线性表出 有解的充要条件 r Ar An n为未知数的个数或维数 4 向量组的线性相关性 1 m个n维列向量所组成的向量组A 12 m L构成n m 矩阵 12 m A L m个n维行向量所组成的向量组B 12 TTT m L构成m n 矩阵 1 2 T T T m B M 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 2 向量组的线性相关 无关 0Ax 有 无非零解 齐次线性方程组 向量的线性表出 Axb 是否有解 线性方程组 向量组的相互线性表示 AXB 是否有解 矩阵方程 3 矩阵 m n A 与 l n B 行向量组等价的充分必要条件是 齐次方

11、程组0Ax 和0Bx 同解 101 P例 14 4 T r A Ar A 101 P例 15 5 n维向量线性相关的几何意义 线性相关 0 线性相关 坐标成比例或共线 平行 5 线性相关 共面 6 线性相关与无关的两套定理 若 12 s L线性相关 则 121 ss L必线性相关 若 12 s L线性无关 则 121 s L必线性无关 向量的个数加加减减 二者为对偶 若r维向量组A的每个向量上添上nr 个分量 构成n维向量组B 若A线性无关 则B也线性无关 反之若B线性相关 则A也线性相关 向量组的维数加加减减 简言之 无关组延长后仍无关 反之 不确定 7 向量组A 个数为r 能由向量组B 个

12、数为s 线性表示 且A线性无关 则rs 二版 74 P定理 7 向量组A能由向量组B线性表示 则 r Ar B 86 P定理 3 向量组A能由向量组B线性表示 AXB 有解 r Ar A B 85 P定理 2 向量组A能由向量组B等价 r Ar Br A B 85 P定理 2 推论 8 方阵A可逆 存在有限个初等矩阵 12 l P PPL 使 12l APPP L 矩阵行等价 r ABPAB 左乘 P可逆 0Ax 与0Bx 同解 矩阵列等价 c ABAQB 右乘 Q可逆 矩阵等价 ABPAQB P Q可逆 9 对于矩阵 m n A 与 l n B 若A与B行等价 则A与B的行秩相等 若A与B行

13、等价 则0Ax 与0Bx 同解 且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 矩阵A的行秩等于列秩 10 若 m ss nm n ABC 则 C的列向量组能由A的列向量组线性表示 B为系数矩阵 C的行向量组能由B的行向量组线性表示 T A为系数矩阵 转置 11 齐次方程组0Bx 的解一定是0ABx 的解 考试中可以直接作为定理使用 而无需证明 0ABx 只有零解0Bx 只有零解 0Bx 有非零解0ABx 一定存在非零解 12 设向量组 12 n rr Bb bb L可由向量组 12 n ss Aa aa L线性表示为 110 P题 19 结论 1212 rs

14、b bba aa K LL BAK 其中K为s r 且A线性无关 则B组线性无关 r Kr B与K的列向量组具有相同线性相关性 必要性 rr Br AKr K r Krr Kr Q 充分性 反证法 注 当rs 时 K为方阵 可当作定理使用 13 对矩阵 m n A 存在 n m Q m AQE r Am Q的列向量线性无关 87 P 对矩阵 m n A 存在 n m P n PAE r An P的行向量线性无关 14 12 s L线性相关 存在一组不全为 0 的数 12 s k kkL 使得 1122 0 ss kkk L成立 定义 1 2 12 0 s s x x x L M 有非零解 即0

15、Ax 有非零解 12 s rs L 系数矩阵的秩小于未知数的个数 15 设m n 的矩阵A的秩为r 则n元齐次线性方程组0Ax 的解集S的秩为 r Snr 16 若 为Axb 的一个解 12 n r L为0Ax 的一个基础解系 则 12 n r L线性无关 111 P题 33 结论 6 5 相似矩阵和二次型 1 正交矩阵 T A AE 或 1T AA 定义 性质 A的列向量都是单位向量 且两两正交 即 1 1 2 0 T ij ij a ai jn ij L 若A为正交矩阵 则 1T AA 也为正交阵 且1A 若A B正交阵 则AB也是正交阵 注意 求解正交阵 千万不要忘记施密特正交化和单位化

16、 2 施密特正交化 12 r a aaL 11 ba 12 221 11 b a bab b b g L L L 121 121 112211 rrrr rrr rr b ab aba babbb b bb bbb ggLg 3 对于普通方阵 不同特征值对应的特征向量线性无关 对于实对称阵 不同特征值对应的特征向量正交 4 A与B等价 A经过初等变换得到B PAQB P Q可逆 r Ar B A B同型 A与B合同 T C ACB 其中可逆 T x Ax与 T x Bx有相同的正 负惯性指数 A与B相似 1 P APB 5 相似一定合同 合同未必相似 若C为正交矩阵 则 T C ACB AB 合同 相似的约束条件不同 相似的更严格 6 A为对称阵 则A为二次型矩阵 7 n元二次型 T x Ax为正定 A 的正惯性指数为n A 与E合同 即存在可逆矩阵C 使 T C ACE A 的所有特征值均为正数 A 的各阶顺序主子式均大于 0 0 0 ii aA 必要条件