同济大学_汽车学院_汽车振动_郭荣_chapter3_作业答案.pdf

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1、 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 1 3 1 图示不计质量的刚杆 长度为 2l 在其中点和左端附以质量 12 m m 两端的 弹簧刚度为 12 k k 求此系统的运动方程 注 分别使用直接法和拉格朗日法 运动方程写成矩阵形式 1 k 2 k 1 m 2 m ll 1 x 2 x 解 1 直接法 直接法 1 11 1221 22221 1 112122 222122 111221 22222 20 220 20 240 020 0240 m xlk xlkxx l m x lkxxl

2、 m xkkxk x m xk xk x mxkkkx mxkkx 1 11 122 22221 1 1221 1 222122 12111 22222 220 220 220 240 2200 0240 m x lk x lm x l m x lkxxl m xm x lk x m xk xk x mmxkx mxkkx 2 拉格朗日法 拉格朗日法 22 1 122 11 22 Tm xm x 2222 1 122112121222 111 2 44 222 Uk xkxxkkxk x xk x 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive s

3、tudies tongji university 2 d 0 d iii TTU tqqq 1 2 0 0 m M m 122 22 2 24 kkk K kk 111221 22222 020 0240 mxkkkx mxkkx 3 2 推导图示系统的运动方程 注 分别使用直接法和拉格朗日法 运动方程写 成矩阵形式 解 1112211 2222356322 3333433 000 00 000 mxkkkxp t mxkkkkkkxpt mxkkkxpt d d i iiii TTUD Q tqqqq 3 3 推导图示系统的运动方程 绳与圆盘间无相对滑动 注 分别使用直接法 和拉格朗日法 运

4、动方程写成矩阵形式 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 3 r x 2 k 1 k 1 m 2 m 解 1 直接法 11 22 221 0 1 0 2 m xkxr m rk rkrx r 1 11 2 2 112 2 0 0 1 00 2 m kk rxx k rkkrm r 2 拉格朗日法 222 12 11 1 22 2 Tm xm r 2222 121112 111 2 222 Uk xrk rk xk rxkk r 1 11 2 2 112 2 0 0 1 00 2 m kk

5、 rxx k rkkrm r 3 4 图示质量为 M 半径为 r 的两个相同的圆柱体之间用弹簧 k1联系 右侧的圆 柱体用弹簧 k2与固定端连接 设圆柱体自由地在水平表面上滚动 注 用拉格 朗日方程推导系统的运动方程 1 k 2 k 1 2 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 4 解 22 22222222 112212 11 111 11 33 22 222 22 22 TM rMrM rMrMrMr 2 2 3 0 2 3 0 2 Mr M Mr 22 22222 11222111

6、22112 111 2 222 Ukrrkrk rkkrk r 22 11 22 112 k rk r K k rkkr 2 22 111 1 22 2 2112 2 3 0 0 2 30 0 2 Mr k rk r k rkkr Mr 3 5用拉格朗日方程推导系统的运动方程 圆柱体的质量为m 半径为r 它沿 半径为R的半圆槽无滑动地滚动 较小时 2 1 cos1 1 cos 2 k R M k x 解 2 2 22 2 22 11 11 22 22 13 2 22 Rr TMxmrm xRr r Mm xm Rrm Rr x 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School

7、of automotive studies tongji university 5 23 2 Mmm Rr M m Rrm Rr 2 222 1 21 cos 2 11 1 cos2 22 Ukxmg Rr Ukxmg Rr 20 0 k K mg Rr 2 200 3 00 2 Mmm Rr kxx mg Rr m Rrm Rr 3 6 圆槽内有三个滑块 其绕圆心O的转动惯量为 123 J JJ 弹簧刚度为 123 k k k 滑块绕圆心的转角分别为 123 用影响系数法求系统刚度矩阵 解 123 1 0 2 111 13 113 kkR RkR RkkR 2 12211 11 kkkR R

8、k R 2 13313 13 kkkR Rk R 213 1 0 R 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 6 2 221 22212 kkR RkR RkkR 2 2332222 kkkR Rk R 312 1 0 2 33233 323 kkR RkR RkkR 1313 2 1122 3223 kkkk KRkkkk kkkk 3 7求图示系统运动方程 4 k 2 k 3 k 1 m 2 m 3 m 4 m 1 k 2 k 3 k 4 k 1 m 2 m 3 m 4 m 4 k 2

9、 k 3 k 1 m 2 m 3 m 4 m 1 k 5 5 k 1 2 3 4 000 000 000 000 m m M m m 解 12222 22332233 ab 33443344 4444 0000 00 00 0000 kkkkk kkkkkkkk KK kkkkkkkk kkkk 122 2233 3344 445 00 0 0 00 c kkk kkkk K kkkk kkk 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 7 0 0 0 a b c a MXK X b MXK

10、X c MXK X 3 8用影响系数法求双摆的振动微分方程 1 m 2 m 1 2 1 l 2 l 解 刚度矩阵 12 1 0 111212112 0kmmglkk 12 0 1 2222 km gl 121 22 0 0 mmgl K m gl 质量矩阵 12 1 0 21122 1 2 22 111 12 1122 1 2121 mmm ll mmlm l llm llmml 12 0 1 2 222 2 mm l 2 1212 1 2 2 2 1 22 2 mmlm l l M m l lm l 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive

11、 studies tongji university 8 2 1121 1212 1 21 2 222 2 1 22 22 00 00 mmglmmlm l l m glm l lm l 3 9求图示振动系统的固有频率和主振型并画出振型图 123 kkkk 123 mmmm 解 系统的刚度矩阵为 110 121 012 k kk0 kk2k 0kk2 K 质量矩阵为 100 010 001 m m00 0m0 00m M 动力矩阵 210 121 011 k D m 由 matlab 解得 123 222 010203 0 198 1 555 3 247 0 32800 7370 0 5910

12、 0 5910 0 3280 0 7370 0 7370 0 5910 0 3280 kkk mmm AAA 归一化 010203 0 445 1 247 1 802 kkk mmm 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 9 123 111 1 802 0 445 1 247 2 247 0 8020 555 AAA 振型形状为 3 10 求图示简支梁的固有频率 主振型 并画出振型图 简支梁的跨度为 L 等 距离固定三个相等的集中质量m 解 根据材料力学公式 222 6 Fbx ylxb

13、 lEJ 令 1 1F 23 0FF 22 3 2 11 31 1 139 44 644768 ll l lll lEJEJ 22 3 2 2112 11 1 1111 42 624768 ll l lll lEJEJ 22 3 2 3113 11 1 3317 44 6244768 ll l lll lEJEJ 令 2 1F 13 0FF 22 3 2 22 11 1 1116 22 622768 ll l lll lEJEJ 22 3 2 3223 11 1 31311 24 6224768 ll l lll lEJEJ 令 3 1F 12 0FF EJ 机械振动学 第三章习题答案 Dr

14、Rong Guo School of automotive studies tongji university 10 22 3 2 33 13 1 319 44 644768 ll l lll lEJEJ 所以柔度矩阵为 3 9117 11 1611 768 7119 l F EJ 柔度矩阵 3 9117100 11 1611 010 768 7119001 L FMm EJ 0FMXX 动力矩阵 3 9117 11 1611 768 7119 mL D EJ 由 matlab 解得 333 222 010203 111 31 5563 2 0 4437 768768768 mLmLmL EJ

15、EJEJ 123 010203 333 4 933 19 596 41 6 111 1 414 0 1 414 1 11 EJEJEJ mLmLmL AAA 振型如下 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 11 3 11 研究一个无阻尼三自由度系统 11 22 33 200400 0020 002040 mxkkx mxkkkx mxkkx 求主振型矩阵 模态质量矩阵 模态刚度矩阵 注 采用手算和matlab 或maple 两种方法计算 提示 matlab计算时把符号提到括号外面 解 特

16、征方程为 2 0 2222 0000 2 0 420 120230 042 kmk kkk kmk mmm kkm 固有频率 2 01 k m 2 02 2 k m 2 03 3 k m 模态矩阵 111 202 111 800800 040 080 0080024 MmKk 3 12有一质量为m的等截面刚性杆 长度为l 其右端存在集中质量m 刚性杆 两端的支承弹簧刚度均为k 取质量中心的平动和转动为两个运动坐标 试确定 该系统的刚度矩阵和质量矩阵 并求系统的特征值和特征向量 画出振型示意图 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive stud

17、ies tongji university 12 并求出主振型矩阵 模态质量矩阵 模态刚度矩阵和正则振型矩阵 并验证正则 质量矩阵和正则刚度矩阵 l m m kk 1 4l 222222 222 22 222 11171 2 2 2224816 15 2 224 1131 2244 15 2 28 c lrlr TmxImxmlml mxml Ukxkxxxlxxl Ukxklxkl 解 以图示坐标建立运动微分方程 2 2 1 202 2 0 5 150 24 28 mkkl xx ml klkl 2 0 222 0 1 22 2 0 155 2824 kmkl X klklml 2422 0

18、0 22 0102 12 20120 0 735 3 265 11 1 069 06 mmkk kk mm AA ll 特征方程为5 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 13 11 1 069 06 ll 主振型矩阵 2 230 019 1 T MMm 模态质量矩阵 1 640 062 36 T KKk 模态刚度矩阵 0 670 23 1 0 712 07 N m ll 正则振型矩阵 10 01 T NNN MM 正则质量矩阵 0 7350 03 265 T NNN k KK m 正则

19、刚度矩阵 一阶振型 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 14 l m m k k x 0 11l 1 二阶振型 3 13 求图示简支梁的主振型矩阵 模态质量矩阵 模态刚度矩阵 简支梁的跨 度为 L 等距离固定三个相等的集中质量 m 注 采用手算和 matlab 两种方法计算 提示 matlab 计算时把符号提到括号 外面 解 1 根据题意 可直接写出质量矩阵为 00 00 00 m Mm m 2 求柔度矩阵 根据材料力学公式 222 6 Fbx ylxb lEJ 令 1 1F 23 0

20、FF 22 3 2 11 31 1 139 44 644768 ll l lll lEJEJ 22 3 2 2112 11 1 1111 42 624768 ll l lll lEJEJ 22 3 2 3113 11 1 3317 44 6244768 ll l lll lEJEJ EJ 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 15 令 2 1F 13 0FF 22 3 2 22 11 1 1116 22 622768 ll l lll lEJEJ 22 3 2 3223 11 1 313

21、11 24 6224768 ll l lll lEJEJ 令 3 1F 12 0FF 22 3 2 33 13 1 319 44 644768 ll l lll lEJEJ 所以柔度矩阵为 3 9117 11 1611 768 7119 l F EJ 振动方程 0FMXX 11 3 22 33 91171 11 161110 768 71191 xx l m xx EJ xx 11 3 22 33 9117 11 16110 768 7119 xx ml xx EJ xx 特征方程为 2 1 0 n LFMI 令 23 0 768 n EJ b ml 2 0 3 768 n EJ bml 32

22、 123 9117 3478280 1116110 31 5563 2 0 444 7119 b bbb b bbb b 222 010203 333 24 3375 384 1729 7297 EJEJEJ mlmlml 2 2 2 2523112279 112218321122 7911222523 bbbb adj Lbbbb bbbb 将 1 b 2 b和 3 b分别代入上式 并且第一项等于 1 1 1 2 1 A 2 1 0 1 A 3 1 2 1 A 111 202 111 p A 111111 4 2022022 1111114 T T ppp mm MA MAmm mm 机械振

23、动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 16 1 3 111111 91170 1268 768 20211 16112021 11171191119 0161 T T ppp EJ KA KA l 3 14 求图示双弹簧系统的固有频率和主振型 两滑轮的质量不计 解 质量矩阵 0 0 m M m 刚度矩阵 1 1 1 12 k K 11 22 01 10 01 102 xxm k xxm 22 0102 0 k m 1 2 11 11 AA 3 15 在下图中 假设 12123 mmmm kkk

24、k 并假定在 m2 上作用静 力 P 方向沿坐标的正方向 现假设 P 突然放松 根据该初始条件求系统的自由 振动响应 2 k 3 k 1 m 2 m 1 k 1 x 2 x 解 振动运动微分方程为 mm k k 2 x 1 x 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 17 11 22 020 020 xxmkk xxmkk 22 0102 11 3 11 kk mm 00 1 32 3 00 TTP XX k 由已知条件知 011 00 02 111 33 1 112 3126 q PP

25、QX qkk 1 00 0QX 11 22 2020 0 0206 qqmk XQ qqmk 0101011 0202022 cos3cos coscos6 qttq P QQ qttqk 在模态坐标 下的响应为 010102 020102 3cos3coscos11 cos3coscos1166 3 3coscos 6 3 3coscos X ttt PP XQ tttkk kk tt Pmm k kk tt mm 在物理坐标 下的响应为 3 16 一 轴 盘 扭 振 系 统 如 图 所 示 给 定 初 始 条 件 为 00 0 TT 求系统的响应 解 机械振动学 第三章习题答案 Dr Ro

26、ng Guo School of automotive studies tongji university 18 11 2 2 3 3 0000 0020 0000 Jkk Jkkk Jkk 222 010203 111 0 3102 111 kk JJ 11 22 33 3000000 0200200 00600180 qq Jqkq qq 1 01 1 0020 03 1112220 1 10203030 6 1111210 q Qq q 1 01 1 0020 03 111222 1 1023030 6 1111210 q Qq q 0101 1 02 202022 02 3 03 03

27、0303 03 cossincos 0 cossin n t qq t q qk Qqqttt J q q qtt cos 111 102cos 111 0 cos k t tt J k Qtt J k tt J 3 17 在 图 示 的 圆 盘 圆 轴 扭 振 系 统 中 左 端 为 固 定 端 假 设 123123 JJJJkkkk 假设在第二个圆盘和第三个圆盘之间的中 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 19 央处施加简谐作用力矩 sinTt 令 k J 试求系统的强迫振动响应

28、可认 为外载荷平均分配到两个圆盘上 1 k 2 k 3 k 1 J 2 J 3 J 1 2 3 1 2 3 解 振动系统微分方程为 11 22 33 0 1210 1121sin 2 1011 sin 2 T Jkt T t 222 010203 111 0 1981 1 555 3 2471 80190 44501 2470 2 24700 80190 5550 kkk JJJ 9 2959 1 8412 2 8629 T MMJ 1 8412 2 8629 9 2959 T KKk 0 1112 0245 1 80190 44501 2470sin0 1784sin 2 2 24700 8

29、0190 55500 3460 sin 2 T T T Pf ttTt T t 模态坐标下的振动微分方程为 11 22 33 9 29591 84122 0245 1 84122 86290 1784sin 2 86299 29590 3460 JkTt 杜哈美积分 0 2 sin 1 2 T i i pipi AP qtin km 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 20 2 2 1 2 2 3 2 2 0245 sin 1 84129 2959 0 2716 0 1784 sins

30、in 0 1746 2 86291 8412 0 0538 0 3460 sin 9 29592 8629 k J Tt kJ q TtTt Qq kJk q Tt kJ 1110 27160 5000 sinsin 1 80190 44501 24700 17460 5000 2 24700 80190 55500 05380 5001 TtTt XQ kk 3 18求 图 示 系 统 的 强 迫 振 动 响 应 初 始 条 件 为 零 12123 mmmkkkk 1 p tt 其中 t 为单位谐函数 2 sin0 5 k ptt m 解 11 22 121 112 sin0 5 u t x

31、x mk k xx t m 2 222 2 2 2 10 2 kmk KMkm kkm 22 0102 11 3 11 kk mm 1101120 1101102 T T mm MM mm 1121120 1121106 T T kkk KK kkk 1 p t 2 p t 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 21 sin0 5 11 11 sin0 5 sin0 5 T T k u tu tt m Pf t k t k u ttm m 模态坐标下的振动微分方程为 11 22 sin0

32、 5 2020 0206 sin0 5 k u tt xxmk m xxmk k u tt m 由于激励有两部分组成 因此使用叠加法求解方程 1 任意激励下的响应求解方法 0 0 0 1 sin 1 2 T t i ii pii qAftdin m 2 简谐激励下的响应求解方法 0 2 sin 1 2 T i i pipi AP qtin km 当 01 k m 时 11 0 1 cos 1 1 sin 2 2 t k t k m qtd mkk m m 12 sin0 52sin0 5 1 3 22 4 kk tt mm q k k km m 11112 1 cos2sin0 5 23 kk

33、 tt mm qqq kk 当 02 3k m 时 21 0 3 1 cos 13 1 sin 63 2 t k t k m qtd mkk m m 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 22 22 sin0 52sin0 5 1 11 62 4 kk tt mm q k k km m 22122 3 1 cos2sin0 5 611 kk tt mm qqq kk 1 2 1cos2sin0 5 23 3 1cos2sin0 5 611 kk tt mm q kk Q q kk tt

34、mm kk 1cos2sin0 5 11 23 11 3 1cos2sin0 5 611 3 16sin0 543coscos 336 3 28sin0 523coscos 336 kk tt mm kk XQ kk tt mm kk kkk ttt mmm kk kkk ttt mmm kk 3 19 求图示振动系统的阻尼矩阵 并求其模态阻尼矩阵 解 22 0102 3 kk mm 11 11 cc 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 23 5 T cc CC cc 3 20 求图示

35、三级摆 当第一 二两质量上作用有简谐激振力时的稳态响应 2 0 2 5 g F l 为常数 解 质量矩阵 123 1 0 1 m 31 m 2 m 3 1 ml 1 m 3 m 2 1 ml 1 1 ml 21 m 11 m 1 m 31 m 2 m 3 1 ml 3 m 2 1 ml 21 m 1 m 31 m 3 1 ml 3 m 2 31133 1 3 22 2112231 22 1 23 12331 22 111231 11 1 12 1123 11233121 22 33 mmm l lml mmmml lmlm l lm l llmml mmmml lmlm l lm l llm

36、l lllmmml 或 或 213 1 0 1 m 32 m 2 m 3 2 ml 3 m 2 2 ml 22 m 1 m 32 m 3 2 ml 3 m 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 24 2 32233 2 3 22 22232 22 2 23 22332 22 mmm l lml mmm l lmlm l lm lllmml 或 312 1 0 1 m 33 m 3 3 m l 3 m 2 333 3 3 mm l lml 刚度矩阵 123 1 0 11123 2112 3

37、113 3 0 0 kmmmglmgl kk kk 213 1 0 2223 3223 2 0 kmmglmgl kk 312 1 0 333 km glmgl 质量矩阵 2 321 221 111 Mml 刚度矩阵 300 020 001 Kmgl 11 2 220 33 3213001 221020sin0 5 1110010 mlmglF lt 方法方法 1 机械振动学 第三章习题答案 Dr Rong Guo School of automotive studies tongji university 25 222 010203 0 4158 2 2943 6 2899 111 1 29

38、210 35291 6450 1 63122 39810 7669 ggg lll 11 2 220 33 21 6463009001 6461 03 92280090sin1 1764 001 43090090 1775 mlmglF lt 0 2 sin 1 2 T i i pipi AP qtin km 0 2 1 00 2 2 3 0 2 1 6461sin 2 921 6463 5 4 8205 1 1764sin 0 1583sin 2 93 9228 0 0211 5 0 1775sin 2 91 4309 5 F lt g mglml l q F ltF Qqt g mg mglml q l F lt g mglml l 1 0 2 3 5 6 25sin 7 5 F Qt mg 方法方法 2 2 2 1 2 5 g l HKMH 1 2 3 Hf t

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