1、MATLAB辅助的“信号与系统”理论教学研究摘要:“信号与系统”课程在理论教学中存在着许多要点和疑难问题,尤其是信号卷积、系统时域响应以及频域响应等部分,数学公式复杂,理论性太强,学生难于理解掌握。结合mATLAB与理论教学相融合的方式来改善教学效果是研究热点。通过举例介绍mATLAB在理论教学中的具体应用,帮助学生完成信号计算以及系统分析的可视化仿真,使学生既正确理解相关理论知识,又培养了学生的信号建模及编程能力。实践表明该教学模式能有效提高学生的学习积极性和主动性,为后续课程的学习打下良好基础。关键词:mATLAB;信号与系统;卷积;零极点;系统稳定性中图分类号:TN911文献标识码:A编
2、号:1009-3044(2019)05-0155-04TeachingResearchesonTheoriesofSignalandSystemUsingmATLABmIAoQi-hang,XIoNGSha-sha,cUIwen-chao(collegeofcomputerandInformationTechnology,chinaThreeGorgesUniversity,yichang443000,china)Abstract:Therearemanykeypointsanddifficultproblemsinthetheoryteachingofsignalandsystemcours
3、e,especiallyinsignalconvolution,ngbysomeexamples,andhelpsstudentstocompletethevisualsimulationofsignalcalculationandsystemanalysis,itnotonlyenablesstudentstounderstandtherelevanttheoreticalknowledgecorrectly,butalsocultivatesstudents”“learningenthusiasmandinitiative,andlayagoodfoundationforthefollow
4、-upcourses.keywords:mATLAB;SignalandSystem;convolution;Zero-Pole;Systemstability1引言信号与系统是网络工程、通信工程、电子信息工程等电子信息类专业的一门专业核心基础课程,在电子信息类专业的教学过程中扮演着承上启下的角色,理论性很强,在国内各个高校的电子信息类专业中该课程都设置为学位课程。信号与系统的基本理论和方法是信号处理领域的基础,概念抽象,尤其是系统傅里叶变换、系统状态分析等难点部分,若仅以理论教学为主,难以提起学生的学习兴趣。利用mATLAB软件编写程序,实现“可视化”教学,通过mATLAB软件实现基本信号图
5、像的表示,实现连续信号和离散信号的卷积过程,求解连续系统的零状态响应、冲激响应、阶跃响应,离散系统的零极点分布状态、幅度频率响应、相位频率响应等,实现课本与软件结合,使枯燥的理论知识形象化、具体化,这样有利于提高教师课堂的教学效率。2信号与系统核心内容信号与系统的核心内容分为信号分析和系统分析两大部分。前者涵盖了连续信号的时域分析、离散信号的时域分析、连续信号的傅里叶分析、离散信号的傅里叶分析、傅里叶变换的基本性质等主要内容;后者包含了连续系统的时域分析、离散系统的时域分析、连续系统的频域分析、离散系统的频域分析、系统的稳定性分析等主要内容。在信号分析部分,基本信号的表示、信号的卷积运算属于其
6、中的重点和难点;在系统分析部分,系统的零状态响应、零输入响应、冲激响应、阶跃响应是教学中的难点,也是学生最容易出现误解的知识点。下面将对这些内容的mATLAB辅助教学进行详细介绍。3mATLAB与理论教学有机融合经典的基本信号及其表示在信号与系统的学习中,学生最先接触的概念就是信号,而让学生对一些经典信号有一个深刻地了解,对后面进一步的学习无疑是一个良好的开端。在理论教学过程中,传统的电子屏幕教学很难提起学生对经典信号的学习兴趣,为了让学生对连续信号中的指数信号、正弦信号、抽样信号、三角波信号,以及离散信号中的冲激信号和阶跃信号有更深入的了解,采用mATLAB绘制经典信号来辅助课堂教学。用mA
7、TLAB繪制指数信号、正弦信号、抽样信号、三角波信号四种经典连续信号如图1的(a)、(b)、(c)、(d)所示。在离散信号分析中,冲激信号和阶跃信号起着十分重要的作用,我们知道通常将单位冲激信号表示为k、单位阶跃响应表示为k,用mATLAB绘制单位冲激信号、单位阶跃信号两种经典离散信号如图2的(a)、(b)所示。(a)冲激信号(b)阶跃信号图2两种经典离散信号连续信号与离散信号的卷积运算连续信号与离散信号的卷积运算在教学中一直作为信号运算的一个经典问题,因为学生很难理解烦琐的卷积公式及运算过程,因此在计算信号卷积的过程中容易出现理解错误和计算错误等现象。此处连续信号与离散信号各举一例作为说明。
8、在理论教学中,连续信号的卷积就是对两个连续函数f1t和f2t运用如下公式计算:(1)教学中通常采用图示法,首先,将函数f1t、f2t的自变量t用替换,然后将函数f2以纵坐标为轴线进行反转变换,就可得到与函数f2镜像对称的函数f2-;第二步将f2-函数沿着轴平移时间t1,就可以得到函数f2t1-;最后,将函数f1t与函数f2t1-相乘,得函数f1f2t1-,因而当积分限为0到时卷积积分的结果为:ft1=0t1f1f2t1-d(2)用mATLAB实现线性信号f1t=t和f2t=t的卷积结果如图3所示。在理论教学中,离散信号的卷积就是两个离散序列求卷积和的过程,计算公式如下:fk=f1kf2k=i=
9、-f1if2k-i(3)教学中通常采用图示法,首先,將序列f1k、f2k的自变量用i替换,再将序列f2i以纵坐标为轴作反转变换,得到序列f2-i;第二步,将序列f2-i沿着i轴正方向平移k个单位,成为f2k-i;第三步,求乘积f1if2k-i,然后再将各个乘积求和。用mATLAB实现离散序列x1k=(0k20)和离散序列x2k=uk(0k10)卷积,结果如图4、图5所示。连续系统零状态、零输入、冲激及阶跃响应线性时不变(LTI)连续系统时域分析是理论课教学中的一个重难点内容,它分为零状态响应、零输入响应、冲激响应以及阶跃响应等四个部分的内容,在理论计算上是对微分方程进行求解。连续系统的零状态响
10、应,即当系统的初始状态为零时,仅由输入信号也就是外界激励ft所引起的响应,一般用yzst表示。一般解析思路就是先将系统的微分方程形式转换为如下所示:i=0najyjzst=i=0mbifit(4)初始状态为y(j)zs0-=0,若微分方程均为单根,则其零状态响应为:yzst=j=1nczsjejt+ypt(5)以上为求解系统的零状态响应的通用解法,现在用mATLAB求解微分方程为y”“t+4y”t+5yt=f”t,外界激励为ft=e-2tt时系统的零状态响应曲线如图6所示。连续系统的零输入响应,即当外界激励为零时,仅由系统的初始状态x0所引起的响应,用yzit表示,在零输入条件下,微分方程的右
11、端为零,化为齐次方程如下:j=0najy(j)zit=0(6)若其特征根均为单根,则其零输入响应为:yzit=j=1nczijejt(7)由于输入为零,故初始值为yjzi0+=yjzi0-=yj0-,以上为求解系统零输入响应的通用解法。现在用mATLAB求解微分方程为y”“t+3y”t+6yt=0,y0-=0,y”0-=10的系统零输入响应曲线如图7所示。连续系统的冲激响应,即一个LTI系统,当其初始状态为零时,输入为单位冲激函数t所引起的零状态响应称为单位冲激响应,简称冲激响应,用ht表示。换言之,冲激响应是外界激励为单位冲激函数t时,系统的零状态响应。现在用mATLAB求解微分方程为y”“
12、t+6y”t+8yt=f”“t的系统的冲激响应,系统的冲激响应曲线如图8所示。连续系统的阶跃响应,即一个LTI系统,当其初始状态为零时,输入为单位阶跃函数t所引起的响应称为单位阶跃响应,简称阶跃响应,用gt表示。换言之,阶跃响应是外界激励为单位阶跃函数t时,系统的零状态响应。现在用mATLAB求解微分方程为y”“t+6y”t+8yt=f”“t的系统的阶跃响应,系统的阶跃响应曲线如图9所示。离散系统的频域响应特性离散系统的频率响应Hej分析是系统分析部分的难点,由离散系统电路的模型可知,根据电路原理中所学的电压和电流之间的关系可以得到系统响应和外加激励之间的数学关系,这样一来便可以求解得到系统的响应;引入系统频域响应分析,通过研究离散系统的传输函数特性曲线以及系统的零极点分布来分析离散系统的因果稳定性,根据离散系统的幅频响应特性和相频响应特性来分析系统时域响应。由此可见,求解离散系统的幅频响应、相频响应、零极点分布对分析系统的性质具有重大的意义,但是此部分内容复杂的公式太多,计算复杂,采用mATLAB实验教学更有利于加深学生对离散系统特性的分析的理解。以下举例说明,已知某离散系统的系统传输函数Hz=+,现在要验证该系统是否为稳定系统,借助mATLAB绘制此离散系统的零极点分布图如图10所示。