第三章量子力学初步3.ppt

1、如果谁要是在第一次学习如果谁要是在第一次学习量子概念时，不觉得糊涂，量子概念时，不觉得糊涂，那么他就一点也没有懂，那么他就一点也没有懂，读者们，你们有没有觉得读者们，你们有没有觉得有点糊涂呢？有点糊涂呢？N . 玻玻 尔尔 量子力学的发展量子力学的发展1913年发表玻尔理论年发表玻尔理论-微观体系特有量子规律微观体系特有量子规律 1925年年 薛定谔建立了关于微粒的波动力学薛定谔建立了关于微粒的波动力学同年同年 海森伯建立了关于微粒的矩阵力学海森伯建立了关于微粒的矩阵力学同年建立关于微观体系的新理论同年建立关于微观体系的新理论-量子力学量子力学1924年年 德布罗意提出了微粒的波动性德布罗意提

2、出了微粒的波动性玻尔理论也有很大的局限性玻尔理论也有很大的局限性玻尔理论启发了当时原子物理向前发展的途径玻尔理论启发了当时原子物理向前发展的途径本本 章章 研研 究究 内内 容容初步介绍量子力学的概念和方法初步介绍量子力学的概念和方法用量子力学概念描述单电子原子用量子力学概念描述单电子原子3.1 3.1 物质的二象性物质的二象性光具有波动、粒子的二重性质光具有波动、粒子的二重性质hE 1.光的二象性光的二象性由由干涉干涉、衍射衍射现象所确认现象所确认光电效应光电效应和和康普顿效应康普顿效应等问题显出微粒性等问题显出微粒性光的粒子性；光的粒子性；光的波动性光的波动性；波粒二象性波粒二象性一个光子

3、的能量一个光子的能量光的频率光的频率普朗克常数普朗克常数按照相对论原理按照相对论原理2mcE 由此光子具有质量由此光子具有质量2chm光子具有动量：光子具有动量：mcp chhhk波数波数光速光速德布罗意将光的波粒二象性大胆地赋予电子这样的实德布罗意将光的波粒二象性大胆地赋予电子这样的实物粒子上，即承认实物粒子也具有波粒二象性物粒子上，即承认实物粒子也具有波粒二象性hE hkp 描述光的粒子性描述光的粒子性描述光的波动性描述光的波动性2. 微粒的波动性微粒的波动性粒子和波的关系粒子和波的关系：hE hp 德布罗意德布罗意关系关系但对实物粒子mp 实物粒子联系着的波长实物粒子联系着的波长mhph

4、德布罗意波长德布罗意波长 德布罗意曾指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速德布罗意曾指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速后的电子穿过晶体时，将会发生电子波的衍射现象，后的电子穿过晶体时，将会发生电子波的衍射现象，1925年戴维孙革末在一次偶然的事故中将镍单晶化，年戴维孙革末在一次偶然的事故中将镍单晶化，电子穿过镍单晶时，观察到电子的衍射图象电子穿过镍单晶时，观察到电子的衍射图象戴维孙革末实验戴维孙革末实验d12,sin,)-(90sin2sin2oadndd 当他们得知物质波动的概念后，又精细地进行实当他们得知物质波动的概念后，又精细地进行实验，将验，将54ev的电子束（对应的电子束（对应 0.

5、167nm）直射在镍）直射在镍单晶上，按照布喇格衍射公式，单晶上，按照布喇格衍射公式， 有有 ( =2 ),取取a=0.215nm （镍晶格常数）（镍晶格常数）,算算得得 它比实验值它比实验值( =50o)差不到差不到1度度,sin,)-(90sin2sin2oadndd50.9,)/arcsin(anaasin2sin当加速后的电子穿过晶体时，将会发生当加速后的电子穿过晶体时，将会发生电子波的衍射电子波的衍射现象现象电子射线电子射线镍镍单单晶晶狭缝狭缝K电电流流计计G3.德布罗意波的实验验证德布罗意波的实验验证 戴维孙革末实验戴维孙革末实验德布罗意指出实物粒子据有波粒二象性德布罗意指出实物粒

6、子据有波粒二象性电子源U电压实物粒子的波动性由实验证实接受器C 电子加速后，其速度由电子加速后，其速度由下式决定：下式决定：代入德布罗意公式代入德布罗意公式将将e , m, h代入上式得：代入上式得： 得得：0A)(25.12伏伏U )1(2UemhmeU2mhph德布罗意波波长德布罗意波波长对电子有；对电子有；电子的波电子的波长决定于长决定于加速电压加速电压eUm221衍射最大值：衍射最大值：sin2d电子的波长：电子的波长：00802.03A d当戴维孙戴维孙革末实验中革末实验中 sin225.1221dnU n3, 2, 1 , 0nU25.12常数常数与实验符合的好与实验符合的好（镍）

7、（镍）足够证实电子的波动性足够证实电子的波动性5102015250IU87653.06得；nk峰值是等距离的峰值是等距离的. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d12ndsin50, 1nm1015. 210d镍晶体镍晶体m1065. 1sin10dm1067. 110电子波的波长电子波的波长 U25.12根据衍射公式；根据德布罗意波波长根据德布罗意波波长I35 54 75V/U50 当散射角当散射角 加速电压加速电压54V50汤姆逊给出电子穿过多晶薄膜的衍射图汤姆逊给出电子穿过多晶薄膜的衍射图随后人们从实验还发现质子、中子、原子、分子都具随后人

8、们从实验还发现质子、中子、原子、分子都具有波动性。有波动性。德布罗意假设被大量事实证实，德布罗意假设被大量事实证实，为此获为此获1929年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。3.2 测不准原理测不准原理经典理论概念；经典理论概念；一个粒子的位置和动量可以同时精确的测定一个粒子的位置和动量可以同时精确的测定量子理论的概念；量子理论的概念；要同时测出微粒的位置和动量，其精密度要同时测出微粒的位置和动量，其精密度有一定的限制有一定的限制海森伯指出；2xpx测量位置的不确定范围测量动量的不确定范围测不准关系精密度的极限2广义广义一般式pq2h讨论讨论单缝衍射单缝衍射的不确定关系的不确定关系xp这规律来源于物

9、质具有的微粒和波动的二象性这规律来源于物质具有的微粒和波动的二象性位置的不确定，由缝宽模位置的不确定，由缝宽模x=d 给出给出x方向的动量不确定方向的动量不确定度度 xp1sinp对衍射一级极小的半角宽度有；对衍射一级极小的半角宽度有；根据衍射原理;1sinxx1sin德布罗意波长德布罗意波长1sinpxpph代入德布罗意波长得；xhphxpxp1xp于是有2/hpxx这是从最大偏转角 算得结果 1海森伯推得；2xpx0 xp位置非常确不定0 x动量非常确不定2ypy2zpz同理有；2pxp可以推得；时间和能量的测不准关系2Et相对论能量为21420222)(cmcpmcEdppccmcpdE

10、221420222)(21dpmcdppc22pEqptptE2测不准关系 是普遍原理、是物质的客观规律不是测量技术和主观能力的问题测不准关系是波粒二象性的必然结果例题例题; ;以高尔夫球为例，一个质量以高尔夫球为例，一个质量45g45g的高尔夫球，的高尔夫球，以以40m/s40m/s的速度飞行，如果动量的不确定度是的速度飞行，如果动量的不确定度是1%1%，估算位置的不确定度。估算位置的不确定度。 数值是极其微小的，因此，球类运动员大可不必为球的波动性而担忧。m104%1m/s40kg1045sJ10632334x估算宏观物体的不确定性解：hpxxhmx%1按照测不准关系 德布罗意引入的物质波

11、需用波函数德布罗意引入的物质波需用波函数(rt)(rt)描述。描述。)(2cos0trk自由粒子的波自由粒子的波单色波单色波平面单色波的公式平面单色波的公式)(cos0nrt )(2cos)(2cos00tnrnrt2nk13.3 波函数及其物理意义波函数及其物理意义1.波函数波函数用指数形式表示：用指数形式表示：)(20trkienrrn波矢波矢ph不变不变微粒性的能量和动量关系微粒性的能量和动量关系)(20trkiekhphE,代入，得代入，得)(20Etrphie2.波函数的物理意义波函数的物理意义波是基本的波是基本的被实验否定了被实验否定了粒子是基本的粒子是基本的设想设想自由粒子的波函

12、数自由粒子的波函数是一个复数是一个复数光源机枪电子源电子数电子数 N=7电子数电子数 N=100电子数电子数 N=3000电子数电子数 N=20000电子数电子数 N=70000单个粒子单个粒子在哪一处出现是在哪一处出现是偶然事件偶然事件；大量粒子大量粒子的分布有确定的的分布有确定的统计规律统计规律。出现概率小出现概率大电电子子双双缝缝干干涉涉图图样样由一个一个电子在多次实验所表现出的总累积效果与大量电子在一次实验所表现出的整体效果完全一模一样1926年玻恩提出波函数的几率解释。这个假年玻恩提出波函数的几率解释。这个假设得到散射实验的支持，取得了人们认可，设得到散射实验的支持，取得了人们认可，

13、玻恩因此获得玻恩因此获得1954年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。按照玻恩的观点：按照玻恩的观点：波函数代表出现粒子的波函数代表出现粒子的几率几率某处发现一个实物粒子的几率与某处发现一个实物粒子的几率与2成正比成正比ddd2几率密度几率密度这就是德布罗意波函数的物理意义这就是德布罗意波函数的物理意义 的共轭复数的共轭复数 波函数必须满足的条件（称为标准条件）波函数必须满足的条件（称为标准条件）1. 单值单值 2. 有限有限 3. 连续连续在整个空间出现粒子的几率应等于一在整个空间出现粒子的几率应等于一称上式为波函数的归一化条件称上式为波函数的归一化条件12d在量子力学中，引入波函数来描述量子系统

14、状态在量子力学中，引入波函数来描述量子系统状态波函数就是态函数波函数就是态函数不符合这三个条件的波函数是没有物理意义不符合这三个条件的波函数是没有物理意义3.4 薛定谔方程薛定谔方程 考察质量为考察质量为m，动量为，动量为p，能量为，能量为E=p2/2m的自由粒的自由粒子的三维运动子的三维运动)(Etzpypxpiozyxe)(),(EtrpioetrEiEietEtzzpyypxxpi)()(0对对 t t 微商，得微商，得：将将对坐标对坐标x x一次微商，得一次微商，得：描写自由粒子的波函数描写自由粒子的波函数xEtzpypxpixEtzpypxpipiepiexxzyxzyx)(0)(0

15、 xpixii1Eti 对自由粒子对自由粒子2222xpx2221p将将对坐标对坐标x二次微商得：二次微商得：22222222,;zypzpy同理有12222222222zyxpppzyx相加有；相加有；2222222zyx拉普拉斯算符的定义为拉普拉斯算符的定义为mpE22mpE22代入上式，得代入上式，得Em222;xpixmpm22222自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程), r (2), r (22tmtE对于一个处在势场对于一个处在势场V(r,t)中作三维运动的非自由粒子中作三维运动的非自由粒子)r (22,tVmpE得到得到E,tVmp)r (22ti,tVm)r (222总能

16、量是总能量是两边乘以两边乘以薛定谔一般方程薛定谔一般方程描述一个在势场中的粒子的微分方程描述一个在势场中的粒子的微分方程2221pEti如果势场不显含时间t ,即V=V(r)uftfrutfzyxutzyx)()()(),().,(定态能量不随时间变化的状态tiVm) r (222dtdfuiufVufm) r (222:，得两边除以ufdttdftfiruVrumru)()()() r ()(2)(122坐标的函数时间的函数彼此无关要它们相等，必须都等于同一个常量这常数设为为E,那么代入薛定谔方程得:EuuVmudttdftfi) r () r () r (2) r (1)()(22由上式分

17、离出它的解是/)(iEtoeftf/) r (), r (iEteut因此) r () r () r (222EuuVm定态薛定谔方程Edttdftfi)()(定态波函数比较知,常数E是能量ufeeetzyxEtirpioEtrpio)()(),(与不含时间代表力学量的算符zippyippzzyy类似的另一个是用算符表示力学量xipx量子力学与经典力学相比有两个显著的区别；一个是专门引入波函数描述体系的状态)(Etzpypxpiozyxexpix改写为xpxi由得；可以用算符xp22222xppxx动量的算符动量的算符22221)(xxppixx22222mTmpT动能的算符动能的算符坐标的算

18、符坐标的算符就是本身势能的算符势能的算符就是本身iEiEtt )(Etzpypxpiozyxe由得；EEit2222pp动量平方的算符动量平方的算符能量的算符能量的算符rrr)()()(rVrVrV22222222222222zyxpppppzyx) r (222VmE对于一个势场中对于一个势场中)r (22VmpE由算符由算符 ， 得；得；222 p)()(rVrV算符算符 与与 是完全相等的是完全相等的 it) r (222Vm能量算符能量算符哈密顿函数哈密顿函数) r (222Vm哈密顿算符哈密顿算符这个算符只包括空间变量，不包括时间这个算符只包括空间变量，不包括时间Huu 对其它的力学

19、量如 ,其算符为 其波函数为 ,则定态薛定谔方程uH) r () r ()r (222EuuVm由式 有；本征值方程能量算符的本征函数能量算符的本征值通过求解该方程给出系统的一切可能的能量本征值及对应的本征函数只对一系列特定、分立值才有解nnnuEuHEuu 3.5 量子力学问题的几个简例无限高势壁之间的一维运动考虑粒子在无限深势阱中的运动理想情况（一维无限深势阱）dxxdxxV, 0,0, 0)()()(xEuxuH一维运动薛定谔方程)()()(2222xEuxVuxudxdmd0Vx0或(一维箱）VV)(xVx0d区 区区在势阱内 定态薛定谔方程)0(dx 区；0212122umEudxd

20、/2mEk 令012212ukdxud方程化为一般解是kxBkxAxucossin)(1;0)(xV特征方程为022kr解是ikr)()()(2222xEuxVuxudxdm区；区；在势阱外在势阱外 ，粒子不会出现粒子不会出现dxx , 00)(222222uEVmudxd)(xV/)(2EVmg令022222ugdxud特征方程为特征方程为gr022 gr解是解是一般解是一般解是gxgxDeCexu)(2当当 时，时，dxx , 0)(xVg0)(2DCxu按照波函数的有限性，必定是按照波函数的有限性，必定是0)(2xuDCxu0)(2按照波函数的统计解释，按照波函数的统计解释，0)(2xu

21、时；dx 时；0 x不符合波不符合波函数条件函数条件 根据波函数的连续性区)0(dx kxBkxAxucossin)(1dxdxxuxudx/ )(/ )(,2100cossinkdBkdA0201/ )(/ )(,0 xxxuxux0B0得;0sinkd , 4 , 3 , 2 , 1nnkd 5 , 4 , 3 , 2 , 1ndnk0 A)0(的解无意义A0)(2xu区), 0(dxx若n取零（n0)，在区给出u0 ，无物理意义)(xVx0d321822222222, nnmdhnmdEn从而给出的能量本征值(能级)为 /21mEk 区在 5 , 4 , 3 , 2 , 1ndnk这就自

22、然地给出了能量量子化xdnAxunsin)(对应能量En的本征函数常数A由波函数的归一化条件给出由归一化条件 dxdxnAdxuddn)/(sin20220dA212)2cos1 (21202dAdxxdnAd1202dxudxudnndxxdxdxndxun, 000),sin(2)(于是归一化波函数为几率密度为)0()(sin2)(22dxdxndxundxdxdxun0)sin(2)(;11dudxudxux2;2,0;,0;0111dxdxdxun0)2sin(2)(;22duddxuddx2;43,4,0;,2, 02211En 22En 33En 能级3 , 2 , 18222nn

23、mdhEn波函数的宇称性是势函数反演对称性的必然结果 )()(xx 2cos,1,3,5,22sin,2, 4,6,2nnxdnxddxnxdnxdd坐标原点O取在势阱中心无限深势阱具有反演对称性称奇函数)()(xx称偶函数)(xVx02d2d宇称经 变换后，改变符号xx经 变换后，不改变符号xxVV0V在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 m m 的粒子，受弹性力的粒子，受弹性力F F 作用作用mkxdtxdkxdtxdm其中,022222这种运动称为简谐振动这种运动称为简谐振动2. 简谐振子由牛顿第二定律由牛顿第二定律)cos(tAx其解为其解为作这种运动的粒子叫作这种运动的粒子叫

24、谐振子谐振子dxdUFxkxdxUU00221kx2221xm若取若取U U0 0 = 0 = 0，即平衡位置处于势能即平衡位置处于势能U0 = 0 = 0 点，点，则则2221xmU势能axV(x)0V0一维线性谐振子的一维线性谐振子的 HamiltonHamilton算符：算符：222222212)(2xmdxdmxVmpH则则 Schrodinger Schrodinger 方程可写为方程可写为 ：)()(21222222xEuxuxmdxdm0)(2)(2222222xuxmEmdxxud或：mx其中即：,为简化，为简化，引入无量纲变量引入无量纲变量 代替代替x/则方程可改写为：1 x

25、x2221ddx 0)(2)(2222222xuxmEmdxxudm20)(2)(224222222uEmdud0)(2)(222uEdudE2令代入得；0)()()(222udud;0)()()(222udud求解求解于是方程变为：0)()(222udud其解为；22)( eu)()(222udud验证解的正确性，可将其代回方程2/2edddduue2/222uddduddduuu12u22 2 1 1方程的渐近解， 即当 时）（x22)(euu不符合波函数的有限性22)( eu0)()(222udud的解有；0u符合波函数的有限性0)()()(222udud的解写成为；22)()(eHu

26、当 有限时， 有限)(H其中 必须满足波函数的标准条件 )(H 当 时， 的行为要保证为有限)(u)(H22)()(eHu0)()()(222udud代入得到 以满足的方程)(H0)() 1()(2)(22HddHdHd用级数 解法来求这方程的解0)(nnnCH必须含有有限项必须含有有限项为有限)(u才能条件是 为奇数； , 3 , 2 , 1 , 0,12nn221)(eddeHnnnn不同的 上式方程有不同的解)(nH厄米多项式厄米多项式下面给出前几个厄密多项式下面给出前几个厄密多项式具体表达式具体表达式：221)(eddeHnnnn2200001)(;0eddeHn122ee22111)

27、(;1eddeHn2)2(22ee2222221)(;2eddeHn24212832233331)(;3eddeHn2244441)(;4eddeHn12481624偶数时；宇称是奇性的宇称是偶性的奇数时；n22)()(eHu222)()(xnnexHxuE2得；122nE1()2nEnhh22 , 3 , 2 , 1 , 0n能量算符的本征值简谐振子的量子化能量简谐振子的量子化能量特点；（1）二邻近能级差)21()211(1nnEEEnn等距分布没有静止的简谐振子（2）最低能级是 零点能210En12 n与 比较，得1()2nhE0E1E2)21( nEn222)()(xnnexHxu,x2

28、221)(xmxU0)(xUx , 3 , 2 , 1 , 0n)( xun简谐振子的能级n = 02022)(xexun = 121222)(xexxun = 222222224)(xexxu简谐振子本征函数 例题：例题： 设线性谐振子处在基态和第一设线性谐振子处在基态和第一激激发态的波函数为发态的波函数为1e2a2x21=2a31/20e2a2x21=a24求在这两状态时概率最大的位置。求在这两状态时概率最大的位置。其中其中 a=42mk2h24波函数取得极值时，该状态出现几率最大波函数取得极值时，该状态出现几率最大0=a24e-a2x2/2解：解：(1)基态概率分布函数基态概率分布函数d

29、=0(-2a2xe-a2x2)dx20=a21=2a31/2xe-a2x2/2求极值，由求极值，由得到得到x=0, 波函数有极值。有极值。20=a2e-a2x2在第一激发态的波函数为：在第一激发态的波函数为：1=2a31/2x2e-a2x22=xa1=x2a21得到：得到：=2a31/2ddx21(2xe-a2x2 -2a2x3e-a2x2)=0由由波函数有极值波函数有极值习题习题3-8xyabc)(0)1 (Vu在箱外:)2(在在箱箱内内0)(22222222 uVVVEmzuyuxuZYX)()()(:zZyYxXu 令令)()()(2222xEuxVuxudxdm一维一维：三维三维：代入

30、上式，两边同代入上式，两边同时除以时除以)()()(zZyYxXEmVmZdzZdVmYdyYdVmXdxXdZYX22222222222)2()2()2( XEmXdxXd2222 )sin(2)sin(2)(xanaxkaxXxx 0)(2222 XXVEmdxXd由边界条件：由边界条件：0)() 0( LXX类似一维问题的求解得：类似一维问题的求解得：02, 022 EumuV箱箱内内：其中：其中：ZYXEEEE 3 , 2 , 1822222222 xXXXnnmdhnmdE )sin(2)sin(2)(ybnbykbyYyy )sin()sin()sin(8),(zcnybnxana

31、bczyxuzyx 同理：同理：3 , 2 , 1822222222 yYYYnnmdhnmdE )sin(2)sin(2)(zcnczkczZzz 3 , 2 , 1822222222 zzzznnmdhnmdE ZYXzyxEEEnnnEE ),()()()(222222cnbnanmEzyx2,1;2,1;2,1 zyxnnn3,2,1;22222 nnmaEXX 3,2,1;22222 nnmbEYY 3,2,1;22222 nnmcEzz 补充：补充：一：德布罗意关系式的应用一：德布罗意关系式的应用 (1)若将德布罗意关系式应用与氢原子上，若将德布罗意关系式应用与氢原子上，原子定态假

32、原子定态假设便和驻波联系设便和驻波联系起来，十分自然地给出角动量量子化条件。起来，十分自然地给出角动量量子化条件。电子要想作电子要想作稳定运动，稳定运动，电子回转一周的周长应为其波长整电子回转一周的周长应为其波长整数倍，即数倍，即 于是有：于是有： 这正是玻尔曾用过的这正是玻尔曾用过的角动量量子化条件。角动量量子化条件。2 , 1,2nmhnphnnrvLnhnrm 2v这正是玻尔的量子化的轨道半径。这正是玻尔的量子化的轨道半径。（2）如果把）如果把 代入氢原子总能量表达式中代入氢原子总能量表达式中rnrnhp2remrnrempE42422222220)1(4)1(22/:0/22322re

33、rmndrdEdrdE给出由(nm)053. 04221222nnanmerrn（3）考虑在刚性匣子中的运动粒子）考虑在刚性匣子中的运动粒子 粒子在匣中的动能为粒子在匣中的动能为 1/2mv2 ，运动周期为，运动周期为2d/v,按照物按照物质波的观点，物质的波来回反射质波的观点，物质的波来回反射形成驻波，驻波波长满足形成驻波，驻波波长满足 可见匣中的粒子的动量和能可见匣中的粒子的动量和能量都是量子化的，定域的波必量都是量子化的，定域的波必然导致量子化行为。然导致量子化行为。pnhnd2/2/dnhp2/ 22228/2/mdhnmpEk)( hp 粒子的动量粒子的动量动能动能二：二： 波函数及

34、其统计诠释波函数及其统计诠释1. 1. 波函数的统计诠释波函数的统计诠释2. 2. 波函数几率幅的性质波函数几率幅的性质3. 3. 波函数统计意义的实验说明波函数统计意义的实验说明1. 1. 波函数的统计诠释波函数的统计诠释 德布罗意引入物质波，物质波需用波函数德布罗意引入物质波，物质波需用波函数(rt)(rt)描述。描述。1926年玻恩提出波函数的年玻恩提出波函数的几率解释几率解释。他指出。他指出波振幅的模方与该处发现粒子的几率成正比波振幅的模方与该处发现粒子的几率成正比。因此因此德布罗意波函数德布罗意波函数是几率幅是几率幅（包括模（包括模和相位和相位 ）。光学里复振幅光学里复振幅A绝对值平

35、方表示光强，量子力学里绝对值平方表示光强，量子力学里类似复振幅，通常用波函数类似复振幅，通常用波函数(rt)绝对值平方表示绝对值平方表示出现粒子的概率密度。出现粒子的概率密度。ie2| ),(tr 2. 2. 波函数波函数几率幅的性几率幅的性质质量子力学中，引入波函数是用来描述量子量子力学中，引入波函数是用来描述量子系统状态系统状态的，所以的，所以波函数就是态函数。玻恩又赋予波函数以统计诠释，按照玻波函数就是态函数。玻恩又赋予波函数以统计诠释，按照玻恩的观点：恩的观点： 波函数波函数(x)(x)是概率波振幅是概率波振幅，简称概率幅；，简称概率幅； 波函数的模方波函数的模方| |(x)|(x)|

36、2 2= =是几率密度是几率密度, , |(x)|2dx是粒子出现在是粒子出现在 xx+dx 间隔内的概率间隔内的概率；粒子出现在粒子出现在x1 1 x2 2间隔内的概率是间隔内的概率是由于由于| | |2 2代表粒子出现的几率密度，这意味着微观粒子的代表粒子出现的几率密度，这意味着微观粒子的位置（坐标位置（坐标x）是随机的，）是随机的，只能由波函数给出坐标只能由波函数给出坐标x的平均值的平均值dxxx212 dx)x(x )x(*dx| )x(| xx2 玻恩对波函数的统计诠释，还赋予波函数有如下一些基本性玻恩对波函数的统计诠释，还赋予波函数有如下一些基本性质：质： (1)(1)波函数是单值

37、，连续，有限的；波函数是单值，连续，有限的； (2)(2)波函数满足归一化条件，对于不归一的波函数波函数满足归一化条件，对于不归一的波函数如如 ，总可以乘以一个常数，总可以乘以一个常数c c成成 ，使使 归一，归一，即即 。 即使这样即使这样,波函数仍允许差一个波函数仍允许差一个 相位相位因子。因子。相应的涨落相应的涨落( (偏差偏差) )1| )(|2dxx1| |22 dxc 22222)()(*)()(*)()( )(*)()(dxxxxdxxxxdxxxxxxxx)(xccie 就几率就几率分布而言，重要的是分布而言，重要的是相对几率相对几率分布，不难看分布，不难看出出 与与 (c(c

38、为常数为常数) )所描述的相对几率分布所描述的相对几率分布是完全相同的，因为在空间两点是完全相同的，因为在空间两点x1和和x2的相对几率为的相对几率为 它们描述的相对概率是一样的它们描述的相对概率是一样的。然而对于经典的。然而对于经典的波函数，这完全对应两种不同的状态。波函数，这完全对应两种不同的状态。221221)()()()(xxxcxcc)(x3. 3. 波函数统计意义的实验说明波函数统计意义的实验说明光子概念光子概念-解释了光电效应解释了光电效应光的波粒二象性光的波粒二象性-光的能量和动量都是一份份交换光的能量和动量都是一份份交换单光子干涉、衍射实验单光子干涉、衍射实验-在每次实验中每

39、个光子在每次实验中每个光子的去向完全是随机的的去向完全是随机的，然而长时间记录大量单然而长时间记录大量单光子相当于用一束强光光子相当于用一束强光瞬间显示的干涉图样。瞬间显示的干涉图样。大量电子通过双缝后总大量电子通过双缝后总体表现出一种统计规律，体表现出一种统计规律，量子力学正是描述这种量子力学正是描述这种统计统计行为的。行为的。 问题一：问题一：光子观点将如何解释光波的波动性光子观点将如何解释光波的波动性(干涉和衍射干涉和衍射)现象呢现象呢?将频率为将频率为v v的光波看作是具有能量的光波看作是具有能量(h(hv)v)光子的集合光子的集合，那么那么光强光强I I或或光波振幅的模方光波振幅的模

40、方等于光子能量等于光子能量hvhv与光子通量密度（单位面积内通过的光子数）的与光子通量密度（单位面积内通过的光子数）的乘积。乘积。这样光波振幅模方这样光波振幅模方|(x)|2可理解为光子出现可理解为光子出现在某处的在某处的几率密度几率密度。 一个个光子在多次实验一个个光子在多次实验总累积效果总累积效果-大量光子在大量光子在一次实验所表现出的一次实验所表现出的整体效果整体效果完全一样完全一样揭示出揭示出光的干涉，衍射光的干涉，衍射并不是不同光子间的并不是不同光子间的相互作用相互作用结果，而是大量结果，而是大量偶然事件偶然事件总体表现总体表现出来的一种出来的一种统计统计行为行为。*|P212122

41、212212问题二：问题二：微观粒子服从统计规律，微观粒子服从统计规律，为什么不为什么不引入几率直接描述引入几率直接描述，却要借用波函数，却要借用波函数几几率幅来描述呢率幅来描述呢?几率论：几率论：一个事件若有两种可能发生，其几率分别是一个事件若有两种可能发生，其几率分别是P1和和P2 ，那么该事件出现的几率是，那么该事件出现的几率是P= P1+P2 -显然不会出现干涉效应，不显示微观粒子的波动性，完全显然不会出现干涉效应，不显示微观粒子的波动性，完全是经典的描述图象是经典的描述图象几率幅：几率幅：若一个事件有两种可能发生，几率幅若一个事件有两种可能发生，几率幅1 和和2 ，该事件发生的几率幅

42、是，该事件发生的几率幅是1和和2之叠加，即之叠加，即= 1 + 2 相应的几率是相应的几率是微观世界的统计规律是微观世界的统计规律是几率幅相加几率幅相加律律(不是经典几率直接相加不是经典几率直接相加)。如果态如果态1是系统的一个可能态，是系统的一个可能态， 2也是系统的另一个可也是系统的另一个可能态，那么能态，那么c1c11+c2 2 也是系统的可能态也是系统的可能态。这个态既不这个态既不完全是完全是1 ，也不完全是态，也不完全是态2 。而是它们。而是它们的的几率几率为混合态为混合态-波函数的模方波函数的模方 |2 ，代表，代表微观粒子微观粒子出现的出现的几率密几率密度度，而，而几率幅即波函数

43、的叠加几率幅即波函数的叠加-显示出波动性。显示出波动性。几率幅几率幅-描述量子体系的描述量子体系的态函数态函数波粒二象性波粒二象性-波函数的统计意义波函数的统计意义态的叠加：态的叠加：*|2121212122221122211CCCCCCCC导致了量子干涉效应和叠加态下测量结果的不确定性。导致了量子干涉效应和叠加态下测量结果的不确定性。三三. . 不确定关系不确定关系2xx及其偏差dx|2(x)波函数的统计诠释，完全放弃波函数的统计诠释，完全放弃经典粒子的轨道经典粒子的轨道概念，即概念，即排除了粒子每时每刻有确定的位置和确定的动量。排除了粒子每时每刻有确定的位置和确定的动量。由于由于表示粒子出

44、现表示粒子出现在在xx+dx间隔的概率间隔的概率，所以，所以波函数只能给出粒子位置的平均值波函数只能给出粒子位置的平均值dx)x(x )x(*dx| )x(|xx222222)()(*)()(*)()( )(*)()(dxxxxdxxxxdxxxxxxxx相应的涨落相应的涨落(偏差偏差)经典的轨道概念在这里完全失去了意义，按照波函数的统计经典的轨道概念在这里完全失去了意义，按照波函数的统计诠释，可以证明任何两个不诠释，可以证明任何两个不对易对易的力学量，在任何量子态下的力学量，在任何量子态下的平均涨落都有相应不确定关系。的平均涨落都有相应不确定关系。2xxpp及其涨落xpx2xpx同样粒子的动

45、量也只知其统计平均值同样粒子的动量也只知其统计平均值：海森伯指出，平均偏差海森伯指出，平均偏差 乘积有一个最小的乘积有一个最小的限制，即不确定关系限制，即不确定关系-dxxxixp)()( )(* 22)()(ppp 相应的涨落相应的涨落(偏差偏差)2)()(2)()(/dxexpdpepxhxipxxhxipxxx傅立叶变换傅立叶变换对易对易, 0, GFFGFG四四. .力学量算符的表示及其本征值方程力学量算符的表示及其本征值方程（1 1）态函数）态函数( (波函数波函数) )描述体系的状态描述体系的状态（2 2）用算符表示力学量）用算符表示力学量xi xipxzippyippxxyy i

46、p p22222mTmpEk类似的类似的动量的算符是动量的算符是动能的算符是动能的算符是量子力学与经典力学相比区别：量子力学与经典力学相比区别：如在如在(x) 中求动量的平均值中求动量的平均值,须把须把p(x)换成算符形式换成算符形式 在坐标表象中，凡在坐标表象中，凡x函数的力学量，其算符就是本身。如函数的力学量，其算符就是本身。如势能势能V(x)的算符就是的算符就是V(x) 。这样总能量。这样总能量(动能加势能动能加势能)的算符的算符是是(r)VmH 222 在经典力学中，由位置矢量和动量可组合成其他力学量，在经典力学中，由位置矢量和动量可组合成其他力学量，如角动量力学量如角动量力学量L L

47、= =r rp p。在量子力学里，相应的角动量算。在量子力学里，相应的角动量算符是符是r)(rp rLii在直角坐标系中在直角坐标系中: )()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLxyzzxyyzxxipx类似类似：)()(zyxkzjyixiL 在球坐标系在球坐标系 (r,) ) 中，直角坐标和球坐标之间有如下关系中，直角坐标和球坐标之间有如下关系xyrzrzryzyxrrxtancoscossinsincossin2222不难给出角动量各分量表达式不难给出角动量各分量表达式)(yzzyiLxdrrdrddzsin)(cos)cos(:,即dzdzdrdrdrd

48、ydzdysin)sinsin(sin)1(sinzydydzyztanxydrdrdxdycossinsec)cossin(sec22iLiLzy)sincot(cos同理进行代换可得到：)2(cos)cossin()cos(cos,cossinctgrryzrzry)coscot(sin21iLLxX得：）式带入）（由（角动量平方算符在球坐标系中的表示是：角动量平方算符在球坐标系中的表示是：22222222sin1sinsin1zyxLLLL 力学量算符一个重要的性质，即代表力学量的两个算符的力学量算符一个重要的性质，即代表力学量的两个算符的乘积一般是不对易的。用符号乘积一般是不对易的。用

49、符号 的的对对易关系易关系，若，若 两个算符对易，即满足交换率；若两个算符对易，即满足交换率；若 ，两个算符不对易。很容易证明，两个算符不对易。很容易证明FGGFFGFG,表示0,FG0,FG0 , , , , , , , , , yxzxzyzyxpzpzpypypxpxipzpypx 利用上述关系式和角利用上述关系式和角动量直角坐标分量算符动量直角坐标分量算符的表达式的表达式,也不难证明：也不难证明：0,;0L,;,;,22 zyxzxzyzyxLLLLiLLLiLLLiLL角动量平方算符的本征方程是：角动量平方算符的本征方程是： 当函数当函数F与与G只差一个常数只差一个常数时时,即即 ,

50、该方程称函数该方程称函数f的的本征方程，本征方程，f 称本征函数称本征函数,一组数一组数 称本征值。例如能量的本征方称本征值。例如能量的本征方程是：程是：GF nnnEH1.1 ,0;)1()1(),()1(),(),(2222nlllLllLYllaYYLlll本征值角动量角动量 沿沿z方向的分量算符方向的分量算符 LiLz;,1,.1,;)()(llllmmLmiz本征值： 在数学上在数学上,算符算符 的一般定义是的一般定义是,当它作用到一个函数当它作用到一个函数f上后上后,可以把可以把f 映射为另一个函数映射为另一个函数g，即：，即：gf其本征方程是其本征方程是. . 隧道效应隧道效应我