弹塑性力学第04章.ppt

1、第四章第四章 弹性力学空间问题弹性力学空间问题v4-l 空间轴对称问题的基本方程 v4-2 按位移求解空间轴对称问题v4-3 按应力求解扭转问题v4-4 椭圆截面杆的扭转v4-5 弹性扭转的薄膜比拟v4-6 矩形截面杆的扭转4-l 空间轴对称问题的基本方程 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来作用都对称于某一轴，通过此轴的任一平面都是对称面，则所有的应力、应变和位移也都对称于此轴。 柱坐标（柱坐标（r,r,，z z） 是以是以z z轴为对称轴的。轴为对称轴的。x=rcosx=rcosy=rsiny=rsinz=z z=z 图（4-1）1平衡微分方程v在轴对称情况下，由于方

2、向的对称性，切应力z=z=0，r=r=0；v应力分量r，z，zr，均为r与z的函数；v体力分量只有沿r与z方向的Fr与Fz；v则可得r与z方向的平衡微分方程：0z0rzrzrzrzrrzrFrrFrz（4-1）2几何方程 v轴对称情况下，只剩下位移分量ur，w，应变分量剩下r，z，zr，且都与无关。zwzuzwrururrrzrzr（4-2）3物理方程 v根据各相同性假设，且柱坐标和直角坐标都是正交坐标，所以柱坐标中的物理方程在形式上应于直角坐标一样，再注意到轴对称情况下的应力和应变的简化，得出物理方程：rzrzzrGGGG222zrzwrurrur（4-3）4-2 按位移求解空间轴对称问题v

3、空间轴对称柱坐标形式的拉梅方程空间轴对称柱坐标形式的拉梅方程021112021112222zrrrFwzEFruurE22222zrr1r用位移作为基本未知量求解空间轴对称问题，必须使以前应力用位移作为基本未知量求解空间轴对称问题，必须使以前应力表示的平衡微分方程用位移分量来表示。将式（表示的平衡微分方程用位移分量来表示。将式（4-2）代入式（）代入式（4-3），然后代入式（），然后代入式（4-1），可以得到空间轴对称柱坐标形式的拉），可以得到空间轴对称柱坐标形式的拉梅方程：梅方程：（4-4）其中拉普拉斯算子v乐甫位移函数（r，z），位移分量为v代入无体力时拉梅方程，第一式自动满足，第二式变成

4、v空间轴对称位移解法归结为在给定的边界条件下求解双调和方程（4-6）。 2222r122121uzGwzrG0zr,22（4-6） (4-5) 借助于乐甫（Love）位移函数求解空间轴对称问题222zr222z2222r121zrzzrrzrz在求得乐甫位移函数后，还可以求得相应的应力分量在求得乐甫位移函数后，还可以求得相应的应力分量为为（4-7）5223-1-1-2332222222223222Rz2r zR R zRln,zR zRzlnzlnr,R, lnr z rlnz,z,zr z23rz,z4rr z25rz,z43rzr 负三次幂负二次幂负一次幂零次幂一次幂二次幂三次幂四次幂五次

5、幂22zrR能够满足式（4-6）的双调和函数列出如下： 式中上述线性组合仍满足（4-6）。（4-8）（一）无限体内受集中力（不计体力）的问题v设无限体内一点受集中力P的作用，如图所示，求不计自重时的位移及相应的应力分布，这是一个轴对称的问题，又称开尔文（Kelvin）问题。可采用乐甫位移函数求解。图（4-3）0022220zr,drrdrrPazzazz2122rzBBR求解该问题的方程和边界条件为：其中，边界条件为z=a（a为任意常数）剖面上的正应力的合力和P力之间的平衡关系。乐甫位移函数的选取，可以由量纲分析法来着手，因为应力分量正比于P，因而应力为P乘以长度坐标（r,z）的负二次幂，再从

6、式（4-7）可见，乐甫位移函数的长度的量纲要高于应力分量长度量纲的三次，因而必须为长度的一次幂的双调和函数。现试取（4-9）（a）v这是式（4-8）中已列出的一次幂函数，它是满足式（4-6）中的双调和方程的。将它代入式（4-5）及式（4-7），可以求得（b）（c）注意在式（b）与式（c）中，位移与应力的各分量在坐标原点是奇异的，在无穷远处为零。v为了求出待定系数为了求出待定系数B，由式（，由式（4-9）的边界条）的边界条件，有件，有从而有从而有将B式代入式（b）与式（c），即可求得相应的位移分量与应力分量 （4-11）（4-10）v在z=0的水平面上，所有正应力分量为零，切应力为可见，切应力与

7、作用力P的距离平方成反比。（二）半无限体表面受法向集中力（不计体力）的问题v这是著名的布希涅斯克（Boussinesq,T.V.）问题（图4-5）。也是轴对称的问题，为了求得乐甫位移函数，经过类似的量纲分析，可以设定为长度的一次幂函数。图4-5020000000Prdrzrzzrrzz=B1R+B2R-zln(R+Z) 022 由式（4-8）中的一次幂函数进行线性组合，得到该函数必须满足双调和方程和边界条件（e）（d）（f） v式（d）表示的乐甫位移函数，显然满足式（e）。将式（d）代入式（4-5），求得位移分量，再代入式（4-7），得应力分量（4-12）（4-13）v将有关应力分量z和rz代

8、入边界条件式（c），第一个条件自动满足，由第二个条件得到 （1-2v）B1+B2=0 （g）v而式（c）的第三个条件表示在半空间体的z为任意深的水平截面上的应力的合力与力P的平衡，经变量置换后积分，可得 P=4B1（1-v）+2B2 （h）v 联立式（g），（h），解得 从而代入式（4-12）、式（4-13），便有(4-14)(4-15) ErvPz201w在以上分析中，由于z=0，则R成为r，表示地基表面上任意一点离开作用力P的距离。 在工程上，上述结果可以用来分析地基承载力与地基沉降的问题。由（4-15）式可以看出应力分量随R增大而减小，而当R减小而趋于零时，应力迅速增大，直至无穷大。当z

9、=0时，z=rz=0而 ，即在地基表面受纯剪作用，当地基受桩基作用时，常常会出现剪切损坏的现象。 由式（4-14）可见，当z=0时，可以得到沉陷（表面法向位移）公式：（4-16）43按应力求解扭转问题按应力求解扭转问题 v扭转问题的提出： （1）等截面的柱体； （2）无体力作用； （3）柱体的侧面无任何面力作用； （4）柱体的上下端面有面力作用，并合成一对大小相等方向相反的力矩 M。0zyxfff0 xzyfff扭转问题属于空间问题，全部边界条件均为应力边界条件，可以采用应力解法求解。扭转问题基本理论的建立 采用半逆解法： 0 xyzyxzyzx,2.若不计体力。作为应力解法要求，应力分量必须

10、满足平衡微分方程和应力相容方程。 1. 两端面无面力 ，侧面无任何面力，可假设：z f则只剩下 两个应力分量（a）000yxzzyzxzzyzx由式（b）的第一、第二式可知 （b）zyzx ,),(),(yxyxzyzyzxzx再从式（b）的第三式得到 yxyzzx引入一个扭转应力函数 并假设 xGyGzyzx则可以满足平衡微分方程。 （4-17） 22yz22yy22x0y0y0 xtwFzxtvFzxtuFzyzzxzyzxyxzxyx将（a）代入上式有与坐标z无关，可写成y ,x 011011011011011011222222222222222yxvzxvzyvzvyvxvxyxzyz

11、zyx3.不计体力，空间问题的应力相容方程为 注意式（a）且体积应力=0，则上列方程中只剩下第四、第五式 0yz20 xz20)(0)(22yxC2 （c）将式（4-17），交换偏导次序，得到（d）从式（d）可推知（e）其中C是常数，可证明C=-24.边界条件（1）侧面边界上 0,nsxmsyldddd0fffzyx0ssyysxxdddddd 则积分后可得=K （在横截面周界c上）其中，K为常数。对单连通区域（实心杆），可以取K=0，即（x,y）=0 （在横截面周界c上）（4-18）这是因为，由式（4-17）可知，当扭转应力函数相差一个常数K时，对求应力分量无影响。外法线n的方向余弦为将6个

12、应力分量代入应力边界条件，前两式自然满足，而第三式为 RzxzyRzyRzxMyxyxyxyxdddddd)(00（2）端面边界条件（以上端面为例） （f）将（4-17）代入式（f）的第一个条件，有其中，A、B为在周界A，B两点上的值，根据式（4-17）的侧面边界条件，可知，见图4-5（b）所示，则第一个条件是满足的。式（f）的第二个条件同理可证明满足。0)(dxGdxdyyGyxBARRddzx 将式（4-17）代入式（f）的第三个条件的左式，并利用格林公式，有RcRRRRzxzydxdyGdsymxlGdxdyGdxdyyyxxGdxdyyyxxGdxdyyx2)(2)()()()(再利用

13、式（4-18），式（f）的第三个条件可以化为GDyxGMRdd2（4-19） GD称为抗扭刚度，其中 （4-20）图4-6对于多连通区域（空心杆）情况，只能设应力函数对于多连通区域（空心杆）情况，只能设应力函数在某一周界上为零，如图在某一周界上为零，如图4-6所示，则令所示，则令在外周界在外周界c0上为零，而在内周界上为零，而在内周界c1，c2，c3，cn上按照上按照在这在这些周界上的值些周界上的值K1 1，K2 2，K3 3，Kn，根据边界条件可，根据边界条件可以推得以推得iAKyxGMiiRn1G22ddRyxDdd2（4-21）其中，其中，Ai表示表示ci周界所围成的区域面积。同样可以推

14、得周界所围成的区域面积。同样可以推得RniiiAKdxdyD122（4-22）v由上述应力分量代入物理方程（2-17），可以得到相应的应变分量，再代入几何方程（2-16），有0 x000yuxyzuxwzywzwyxu （g）xzvyzu对式（g）积分，引入适当的约束条件并消除刚体位移可得到（4-23）用圆柱坐标表示就是z0uu可见，每个横截面在xy面上的投影不改变形状只是转动一个角度 。由此又可见，杆的单位长度内的扭角是KzKdzdxxywyyxw将式（4-23）代入式（g）的第四、第五式，可以得到 22由式（h）通过积分求出位移分量w。现在如果将式（h）的第一式两边对y求一阶编导数而第二式

15、对x求一阶偏导数，然后相减，可以得到（h） (4-24)v对于柱形杆的扭转问题的应力解法，归结为v在边界条件式（4-18）下求解泊松方程（4-24），v求得了应力函数（x,y）v由式（4-17）求得应力分量，再由式（4-20）(单连通）求得D。22（4-24）xGyGyzxz,（4-17）（x,y）=0 （4-18） （在横截面周界c上）（4-20） GDyxGMRdd2（4-19） RyxDdd24-4椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转 对于椭圆截面杆，其横截面（图对于椭圆截面杆，其横截面（图4-7（a）的周界方程为的周界方程为012222byax（a） 1),(2222byaxByx2222

16、babaB而应力函数在周边上应等于零，所以，设应力函数而应力函数在周边上应等于零，所以，设应力函数（b）其中，其中，B为常数，则边界条件式（为常数，则边界条件式（4-18）被满足。将式（）被满足。将式（b）代入方程（代入方程（4-24），得），得从而1),(22222222byaxbabayx（c） 由此求得剪应力分量GxbaaxGGybaayGyzxz22222222RRRdxdydxdyybdxdyxababaD22222222112Rbadxdyx432Rabdxdyy432Rabdxdy2222babaD（d）要求得要求得，由式（，由式（4-20）得）得其中积分从而求得（e） MbGa

17、baGDM3322xbaMyabMyzxz332,2由式（由式（4-19）求得）求得代入式（代入式（d）得）得最大的剪应力，发生在椭圆周界与短轴上、下交点上，有最大的剪应力，发生在椭圆周界与短轴上、下交点上，有20max2)(abMbyxzx（f）（4-25） v考察椭圆截面杆扭转时横截面的翘曲情况xzGbaM)ba (xzyzGbaM)ba (yzu33223322将式（将式（f）代入式（）代入式（4-23），得位移分量），得位移分量xyGbaMbaw3322)(（4-26）关于位移分量关于位移分量w，可以由，可以由4-3 3中的式（中的式（h）积分，如不）积分，如不计计z方向的刚体位移，则

18、有方向的刚体位移，则有（4-27） 式（式（4-27）表示）表示杆杆受扭后，横截面并不保持为平面，而翘曲成为双曲受扭后，横截面并不保持为平面，而翘曲成为双曲抛物面形状，图抛物面形状，图4-7（b）中，用实线表示上凸，用虚线表示下凹。只有圆）中，用实线表示上凸，用虚线表示下凹。只有圆截面（截面（a=b）杆，才有）杆，才有w=0=0，即截面保持为平面。故对非圆截面杆，平截，即截面保持为平面。故对非圆截面杆，平截面假定不再成立面假定不再成立。4-5 弹性扭转的薄膜比拟法弹性扭转的薄膜比拟法 普朗特提出的薄膜比拟法：薄膜在均匀压力的垂度，与等截面杆扭转问题中的应力函数，在数学上是相似的。用薄膜来比拟扭

19、杆，可以有助于求得扭转问题的解答。图(4-8)设有一块设有一块均匀均匀的的只能承受张只能承受张力力的薄膜，张在一个与受扭的薄膜，张在一个与受扭杆横截面周界相同的刚性框杆横截面周界相同的刚性框架上（框架重量不计）。以架上（框架重量不计）。以框架所在面为框架所在面为Oxy平面，平面，z轴轴铅垂向下，铅垂向下，当薄膜受到微小当薄膜受到微小均匀压力均匀压力q作用时，薄膜上作用时，薄膜上各点将产生微小垂度各点将产生微小垂度Z（x,y）。由于薄膜是柔软的，。由于薄膜是柔软的，不能承受弯矩、扭矩、剪力不能承受弯矩、扭矩、剪力和压力，和压力，故薄膜只能承受均故薄膜只能承受均匀的张力匀的张力，设其单位长度上，设

20、其单位长度上的张力为的张力为F FT，如图，如图4-8所示。所示。 xZxZTdy现在从薄膜中取出边现在从薄膜中取出边长为长为dx和和dy的微分面的微分面abcd，在它的四周受到均匀张力，在它的四周受到均匀张力T的作用，的作用，在它的表面上又受到均匀分布压力在它的表面上又受到均匀分布压力q的的作作用。用。 在在ad边上受到张力为边上受到张力为F FT Tdy，乘上，乘上ad边薄边薄膜膜沿沿x方向斜率方向斜率 得到在得到在Z Z轴上的投影为轴上的投影为在在bc边上，张力仍边上，张力仍 是是FTdy，在，在Z轴上投影轴上投影是是dxxZxZdydxxZxdyTT22FZF负号表示与Z轴的负向由于d

21、x的变化，斜率较之ad边也有一个相应的增量ad边和bc边也可类似分析。 T2FqZ（在薄膜的边界上） 02222qdxdydyyZyZdxFyZdxFdxxZxZdyFxZdyFTTTT考虑这薄膜微分面在Z轴方向的平衡，有展开简化后，除以展开简化后，除以dxdy，得，得微分方程微分方程其中，其中，Z（x,y）为垂度，式（）为垂度，式（4-28）为薄膜平衡时垂度所要）为薄膜平衡时垂度所要满足的方程。另外，又因为在框架上垂度为零，则有满足的方程。另外，又因为在框架上垂度为零，则有0Z（4-28）（4-29） 现在计算薄膜下垂以后与Oxy面所夹的体积，为了便于比较也乘以上2，则有RZdxdyV22如

22、果适当调整如果适当调整q的大小，使得在数量上的大小，使得在数量上2V V=M=M，则比较式，则比较式（4-30）与式（）与式（4-19）GZ （4-30）GDyxGMRdd2可以推知在数量上也有可以推知在数量上也有（a） 如果撇开物理意义的不同，从纯数学的角度看，方程式（4-28）与式（4-24）均为泊松方程，在周界上的边界条件式（4-29）与式（4-18）也相同，如果式（a）成立，这就可以将柱形杆受扭的问题与薄膜受张力的问题进行比拟。首先将式（a）代入式（4-28），则T2FGq与式（与式（4-24）比较，可得）比较，可得Gq2FT则薄膜垂度则薄膜垂度Z除以除以G（即（即Z/G）就相当于扭转

23、应力函数）就相当于扭转应力函数而薄膜和底而薄膜和底面所包围的体积的两倍就相当于扭矩面所包围的体积的两倍就相当于扭矩M。（b）0sZ等高线的切线方向，垂度Z为常数 ，则Z对等高线切线方向的方向导数为零，即0GsZ将上式与式（将上式与式（a）比拟，则有）比拟，则有（c） 切应力线：受扭柱形杆的横截面上相应于薄膜等高曲线在oxy面上的投影曲线比较式（比较式（4-17），应力函数），应力函数在曲线坐标在曲线坐标s、n中，沿着中，沿着切切应应力力 线的法向与切向的线的法向与切向的切切应力分量分别为应力分量分别为n,nGsFGs由式（由式（c）知）知0n显然合显然合切切应力就是应力就是s而且它是沿切线方向

24、的，所以又称投影曲线为而且它是沿切线方向的，所以又称投影曲线为切切应力线应力线。 n Z继而考虑继而考虑s s的大小与薄膜变形的关系，将式（的大小与薄膜变形的关系，将式（4-31）中的第二式与式（）中的第二式与式（a）比拟，在数量上有比拟，在数量上有（d） 表示了薄膜曲面上的沿等高线法线方向斜率的大小，表示了薄膜曲面上的沿等高线法线方向斜率的大小，要知道要知道最大的最大的切切应力应力所在点只须看薄膜上哪一点的所在点只须看薄膜上哪一点的斜率最斜率最大大。nZs由薄膜比拟可知，由薄膜比拟可知，最大的最大的切切应力应发生在横截面周界上，找应力应发生在横截面周界上，找到周界上斜率最大的点，就是最大到周

25、界上斜率最大的点，就是最大切切应力所在之处，它的方应力所在之处，它的方向一定沿着周界在该点的切线方向向一定沿着周界在该点的切线方向，因为这周界本身就是一，因为这周界本身就是一条条切切应力线。应力线。最大切应力方向与最大斜率的方向是相互垂直最大切应力方向与最大斜率的方向是相互垂直的。的。 cTqAdsZnF如果考虑图如果考虑图4-9 9中某一条等高线中某一条等高线c所围成的薄膜的平衡，设所围成的薄膜的平衡，设这部分薄膜的面积为这部分薄膜的面积为A，则有，则有注意到式（注意到式（a）与式（）与式（d），则有），则有csGAds 2上述积分称为上述积分称为应力环量应力环量。（4-32）4-6 矩形截

26、面杆的扭转矩形截面杆的扭转 一、横截面为狭长矩形截面杆的扭转 由薄膜比拟知道，对于张在a/b的值很大的矩形周界上薄膜，几乎不受短边约束的影响，薄膜曲面接近一个柱面，由此可知应力函数在横截面的绝大部分上与x无关，可以设 =（y） 222ydd0)(2by泊松方程边界条件（a） 422by 323abyxDdd33GabMGDM063xGyabMyGzyzx22max3)(abMbyxz上述结果除在截面的短边附近外，对截面大部分区域是正确的。 利用积分可求得再由式（再由式（4-20）解得）解得从而单位长度扭转角从而单位长度扭转角（4-33）（4-34）应力分量为而根据薄膜比拟可以推断，最大而根据薄

27、膜比拟可以推断，最大切切应力发生在长边上，即应力发生在长边上，即（4-35）二、具有任意边长比的矩形截面杆的扭转 v在狭长矩形截面杆的扭转问题的应力函数的基础上加上一个修正函数),(4),(122yxbyyx0212212yx02, 0,2bxya代入方程（代入方程（4-24）后，有）后，有（b）另外，由于应力函数另外，由于应力函数在矩形截面在矩形截面的边界处满足如下的边界条件的边界处满足如下的边界条件)()(),(1yYxXyx4)(2212byax0)(21by2 YYXX所以，修正函数的边界条件为所以，修正函数的边界条件为（c）用分离变量法求解方程（c）（d）代入式（代入式（h）再除以）

28、再除以X（x）Y（y），移项后有），移项后有 0022 YYXXyCyCyYxshBxchBxXsincos)()(2121它们的解为它们的解为即有方程yxAchyxcos),(1的偶函数。和应是题的对称yx),(轴对称）y轴、x性（薄膜 关），注意到 问d代入式（1yx可得 02cosbxAch) 3 2 1 0() 12(，nbnn代入边界条件式（代入边界条件式（c）的第二式，有）的第二式，有由此得由此得于于是是01) 12(cos) 12(),(nnybnxbnchAyx（e） 0224)12(cos2)12(nnbyybnbanchAbanchnbAnn2) 12 () 12 (8)

29、1(3321为了确定系数为了确定系数An，利用边界条件式（，利用边界条件式（c）的第一式，有）的第一式，有220313242) 12() 12() 12(cos) 12() 1(8),(ybbanchnbynbxnchbyxnn于是应力函数于是应力函数可求得（4-36） RnnbanthababdxdyD0553) 12(2) 12(643120553) 12(2) 12(6431nnbanthabGabMGDMa0552022max) 12(2) 12(64312) 12() 12(181nnnbanthababbanchn而由式（而由式（4-30）可得）可得由此又有由此又有最大剪应力，由薄膜比拟可以判定在矩形截面长边中点处，则最大剪应力，由薄膜比拟可以判定在矩形截面长边中点处，则（f）（g）（h）欢迎批评指正！欢迎批评指正！谢谢谢谢 ！Stonehenge