1、作业作业p69 2,5,6(2,3),8第二节第二节 偏导数偏导数一一.偏导数的定义偏导数的定义二二.偏导数的计算法偏导数的计算法三三.偏导数的几何意义偏导数的几何意义四四.多元函数偏导存在与连续的关系多元函数偏导存在与连续的关系五五.高阶偏导数高阶偏导数 小结小结 思考题思考题定义定义,0yy固定为固定为将将),(),(0000yxfyxxfzx xzxx0lim存在存在,内有定义内有定义,,0时时处处有有增增量量在在而而xxx 函数有相应的增量函数有相应的增量如果极限如果极限xyxfyxxfx ),(),(lim00000则称此极限为函数则称此极限为函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,
2、y0)(称为称为关于关于x的偏增量的偏增量),即即记为记为对对x的偏导数的偏导数,设函数设函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)的某邻域的某邻域一、偏导数的概念一、偏导数的概念记为记为,00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyxxxz 或或).,(00yxfx同理同理,可定义函数可定义函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)为为 yzyy0limyyxfyyxfy ),(),(lim00000记为记为,00yyxxyz ,00yyxxyf ,00yyxxyz 或或).,(00yxfyxyxfyxxfxzxxx ),(),(limlim000000对对x的偏导数的偏导数,对
3、对y的偏导数的偏导数,那么这个偏导数仍是那么这个偏导数仍是yx、的二元函数的二元函数,它就称为函数它就称为函数z=f(x,y)对自变量对自变量x如果函数如果函数z=f(x,y)在区域在区域D内任一点内任一点(x,y)处处的偏导函数的偏导函数(简称偏导数简称偏导数),),记作记作,xz ,xf xz或或).,(yxfx同理同理,可定义函数可定义函数z=f(x,y)对自变量对自变量y的偏的偏导函数导函数(简称偏导数简称偏导数),),记作记作,yz ,yf yz或或).,(yxfy对对x的偏导数都存在的偏导数都存在,注意注意 某点某点P0(x0,y0)处的偏导数处的偏导数,也就是偏导函数也就是偏导函
4、数 在该点处的函数值在该点处的函数值.对于三元函数对于三元函数 u=f(x,y,z)可类似可类似),(000zyxfx),(000zyxfy),(000zyxfz推广推广,),(),(lim0000000 xzyxfzyxxfx ,),(),(lim0000000yzyxfzyyxfy .),(),(lim0000000zzyxfzzyxfz 定义定义u 在点在点P0(x0,y0,z0)分别对分别对x,y,z 的偏导数的偏导数.xyxfyxxfxzxyx),(),(lim00000),(000d),(d0 xxxyxf二、偏导数的计算方法二、偏导数的计算方法当二元函数当二元函数z z=f f(
5、x,yx,y)为为直接显式函数直接显式函数时时即在对即在对x求偏导数时求偏导数时,则把则把y y看作是常量看作是常量而对而对x x求导数求导数;000),(),(0 xxyyxxyxfdxdxyxf 000),(),(0yyyyxxyxfdydyyxf 即在对即在对y求偏导数时求偏导数时,则把则把x看作常量看作常量而对而对y求导数求导数.求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数.实质上是求忘记了,请赶快复习一下.如果一元函数的求导方法和公式多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数时求偏导数时,只要将只要将 n 个自变量个自变量中的某一个看成变量中的某一个看成变量,其余的其余的
6、 n1个个自变量均视为常数自变量均视为常数,然后按一元函数然后按一元函数的求导方法进行计算即可的求导方法进行计算即可 .这样用一元函数的求导法则与求导公式便可这样用一元函数的求导法则与求导公式便可求出求出多元简单显示函数多元简单显示函数的偏导数的偏导数.在点在点(1,0)处的两个偏导数处的两个偏导数.yyxzsin2 求求解解,2xyxz ,cos2yxyz ,0)0,1(xz.2)0,1(yz 例例1 1yxyxz )(1aaxax ln xxyzy ln)(aaaxx将将 y 看成常数时看成常数时,是对幂函数求导是对幂函数求导.将将 x 看成常数时看成常数时,是对指数函数求导是对指数函数求
7、导.证证:yzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx 原结论成立原结论成立三个偏导数三个偏导数.2lnsin)(),(xazzyxfxy 求求解解)2,0,1(yf)2,0,1(zf)2,0,1(xf12lncos2 xxx,000 y002 z例例3在点在点(1,0,2)处的处的12lnsin xx,2 求某一点的偏导数时求某一点的偏导数时,变为一元函数变为一元函数,代入代入,可将其它变量的值可将其它变量的值再求导再求导,常常较简单常常较简单.例例4 4 求求的的偏偏导导数数222zyxr rxzyxxxr 22222ryyr解解由于由于r r是关于是关于x,y,zx,y
8、,z的对称函数的对称函数故故rzzr注:注:f(x,y,z)f(x,y,z)称为对称为对x,y,zx,y,z的对称函数,若变的对称函数,若变元的调换不改变函数。其良好性质:对其中一元的调换不改变函数。其良好性质:对其中一个变元所得的结论经字母变换后可直接转移到个变元所得的结论经字母变换后可直接转移到其他的变元。其他的变元。在热力学中在热力学中,已知压强已知压强 P、体积、体积 V 和和温度温度 T 之间满足关系之间满足关系 PV=k T,其中其中,k为常数为常数,证明:证明:.1PTTVVP,VTVP 2k故故从而从而PTTVVPkkkV P VT2 .1PVTk 例例5 5证证VTP TPV
9、 kk得得由由关关系系 ,VPT ,PTV kk类类似似可可得得 警告各位!z与yx,的商.不能像一元函数那样将yzxz,看成是.,不不能能拆拆分分是是一一个个整整体体记记号号偏偏导导数数xz 以上的叙述虽然是对二元函数 元及其以上的多元函数中去.进行的,但其结论可直接推广到三 .32的的偏偏导导数数求求zxyxeu ;)1(232yexuzxyx ;232yxeyuzxyx .)3(232zezuzxyx 例例6 6解解二元函数偏导数的几何意义导数导数 反映出曲线反映出曲线 在点在点P()处的处的倾斜程度倾斜程度0()fx()yf x00,xy曲线越陡,导数越大。曲线越陡,导数越大。处切线的
10、斜率在点是曲线),()()(000yxPxfyxf的斜率:切线PTtankkkx0limxyx0limxxfxxfx)()(lim000偏导数的几何意义xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000的变化率(倾斜度)轴方向处沿在点表示函数xyxMyxfz),(),(000是曲线偏导数),(00yxfx0),(:yyyxfzl处的切线的斜率在点0 xx tan),(00yxfxxyzO1T2T.tan),(000yyxfxx平面上平面上在在 tan ),(00 0 xyxfyy上上在平面在平面),(0yxfz),(0yxfz 三三.偏导数的几何意义偏导数的几何意义P),(yxf
11、z 0 x0y0P ),(000上的曲线上的曲线就是平面就是平面xxyyxf01 I ),(xxyyxfz .),(,000处处切切线线的的斜斜率率即即点点在在点点yxyy ),(000上上的的曲曲线线就就是是平平面面yyxyxf .),(,000处处切切线线的的斜斜率率即即点点在在点点yxxx 0 I ),(yyxyxfz 曲线曲线在点在点(2,4,5)处的处的切线与切线与x轴轴正向所成的倾角是多少正向所成的倾角是多少?解解,21),(xyxfx tan1)4,2(xf4 在点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与y轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?,2422 xyxz 曲线曲线
12、 例例,4422 yyxz四、多元函数偏导存在与连续的关系四、多元函数偏导存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续连续多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续连续 .)0 ,0(处的连续性和可偏导性处的连续性和可偏导性在点在点 ,则则取取xky .1limlim22222002200kkxkxxkyxyxyxyx由由 k 的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在,例例7 7解解 .)0 ,0(),(处处不不连连续续在在点点故故函函数数yxf),(yxf讨讨论论函函数数0 2222yxyxxy0 0 22 yx但是但是
13、,00lim)0,0()0,(lim00 xxxfxf ,00lim)0,0(),0(lim00yyyfyf,0)0,0(xf 0)0,0(,)0(),(2222fyxyxxyyxf.0)0,0(yf ,)0 ,0(),(且且处可偏导处可偏导在点在点即函数即函数yxf偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系不了连续性不了连续性.偏导数都存在偏导数都存在,函数未必有极限函数未必有极限,更保证更保证对多元函数来说对多元函数来说,函数的偏导数函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系存在与否与函数的连续性无必然关系.这是多元函数与一元函数的这是多元函数与一元函数的一个本质区别一个本质区别.二元
14、函数二元函数f(x,y)在点在点(x0,y0)处两个偏导数处两个偏导数 fx(x0,y0),f y(x0,y0)存在是存在是 f(x,y)在该点连续的在该点连续的().A.充分条件而非必要条件充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件既非充分条件又非必要条件D1994年研究生考题年研究生考题,选择选择,3分分1997年研究生考题年研究生考题,选择选择,3分分 ).()0,0()0,0(),(0)0,0(),(),(22处处在在点点yxyxyxxyyxfA.连续连续,偏导数存在偏导数存在;B.连续连续,偏导数不存在偏导
15、数不存在;C.不连续不连续,偏导数存在偏导数存在;D.不连续不连续,偏导数不存在偏导数不存在.C),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏高阶偏导数导数.五、高阶偏导数五、高阶偏导数1122ffxzxx 2222ffyzyy 122ffyxzxy 212ffxyzyx 二元函数的二阶偏导数共 22=4 项解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xy
16、x 33xz ,62y xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyx解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 设设0 ,0 0 ,)(),(22222222yxyxyxyxxyyxf,)0,0(xyf.)0,0(yxf 求求需按定义求函数在点需按定义求函数在点(0,0)处的偏导数处的偏导数:)0,0(xfxfxfx)0,0()0,(lim00)0,0(yfyfyfy)0,0(),0(lim00)0,0(xyfyfyfxxy)0,0(),0
17、(lim01lim0yyy)0,0(yxfxfxfyyx)0,0()0,(lim01lim0 xxx 例例3 3解解,),()()(00连续连续都在点都在点和和若若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理.例如例如,对三元函数对三元函数 u=f(x,y,z),),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序数可以
18、选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点在点(x,y,z)连续时连续时,有有而初等而初等(证明略)例例4.证明函数证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证证:xu22xu利用对称性利用对称性,有有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论偏
19、导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2.偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法(与求导顺序无关时与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习解答提示:P13 0 题 5,时当022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy,022 yx当
20、0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfy00P130 题 5,62223)(2yxyx222222)()(yxyxx即 xy0 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 P13 0题题6(1),12yxxz22yxyyz,)(12222yxxz,)(2222yxyyxz22222)()(2yxyxyz(2),1yxyxzxxyzyln,)1(2.22yxyyxzxxyxyxzyyln1.12xxyzy222ln机动 目录 上页 下页 返回 结束,)(xuuf备用题 设,)(ufz 方程)(uuxytdtp)(确定 u 是 x,y 的函数,)(,)(可微其中uuf)
21、(),(utp连续,且,1)(u求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxP连连续,能否断定续,能否断定),(yxf在点在点),(000yxP的偏导数必定存在?的偏导数必定存在?思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0,0(处处连连续续,但但 )0,0()0,0(yxff 不不存存在在.例如例如,一一、填填空空题题:1
22、1、设设yxztanln,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _;yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2 2、设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _;yz_ _ _ _ _ _ _ _ _.3 3、设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.4 4、设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _;22yz_ _ _ _ _ _ _ _;yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.练练
23、习习 题题 5 5、设、设zyxu)(,则则 yzu2_.二、二、求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数:1 1、yxyz)1(;2 2、zyxu)arctan(.三、三、曲线曲线 4422yyxz,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少?四、四、设设xyz ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、设五、设)ln(xyxz ,求求yxz 23和和23yxz .六、六、验证验证:1 1、)11(yxez ,满足满足zyzyxzx222 ;2 2、222zyxr 满足满足 rzzryrxr 222222.七、设七、设 0,00,ar
24、ctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff,.一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22;2 2、)1(2 yxyexy,)1(2 xxyexy;3 3、xxzxzyzyzyln1,1,xxzyzyln2;4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ;5 5、)ln1()(yxyzyyxz .二、二、1 1、xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12;练习题答案练习题答案 2 2、zzyxyxzxu21)(1)(,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()(.三、三、4.四、四、,)1(,ln222222 xxyxxyzyyxz )1ln(12 yxyyxzx.五、五、223231,0yyxzyxz .七、七、0,0;0,00,0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx,0,0,10,0,12222yxxyyxyxxfxy.