数值分析课件第一章绪论.ppt

1、第第1 1章章 绪绪 论论1 1 数值分析研究的对象和内容数值分析研究的对象和内容 数值分析是研究科学计算中各种数学问题求解的数值计算方法。用计算机进行科学计算解决实际问题的过程如下：实际实际问题问题数学数学模型模型数值计数值计算方法算方法程序程序设计设计计算机计算计算机计算求出结果求出结果 对数学模型建立数值计算方法，并对方法进行理论分析，直到编程上机计算出结果，以及对结果的分析，这就是数值分析研究的对象和任务。如何评价不同算法的好坏呢？一个好的算法应具有如下特点：一个好的算法应具有如下特点：一个好的算法应具有如下特点：一个好的算法应具有如下特点：（1 1）结构简单，易于计算机实现；）结构简

2、单，易于计算机实现；（2 2）理论上要保证方法的收敛性和数值稳定性；）理论上要保证方法的收敛性和数值稳定性；（3 3）计算效率高：计算速度快，节省存储量；）计算效率高：计算速度快，节省存储量；（4 4）经过数值实验检验，证明行之有效。）经过数值实验检验，证明行之有效。我们在学习的过程中，要注意掌握数值方法我们在学习的过程中，要注意掌握数值方法 随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本理论。定性的基本理论。物理、计

3、算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数值分析方法。2 2 误差的来源和分类误差的来源和分类 误差是描述数值计算之中近似值的精确程度，在数值计算中十分重要，误差按来源可分为模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差四种。1.1.模型误差模型误差 数学模型通常是由实际问题抽象得到的，一般带有误差，这种误差称为模型误差。2.2.观测误差观测误差 数学模型中包含的一些物理参数通常是通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观测误差。3.3.截断误差截断误差 求解数学模型所用的数值方法通常是一种近似方法，这种因方法产生的误差称为截断误差截断误差或方

4、法方法误差。误差。例如，利用ln（x+1）的Taylor公式：.)1(.)1ln(11441331221nnnxxxxxx实际计算时只能截取有限项代数和计算，如取前5项有：5141312112ln5141312112ln这里产生误差（记作R5）.101918171615R 4.4.舍入误差舍入误差 由于计算机只能对有限位数进行运算，在运算中象 312、e 在数值分析中，我们总假定数学模型是准确的，因而不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响。等都要按舍入原则保留有限位，这时产生的误差称为舍入误差舍入误差或计算误差计算误差。3 3 绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差

5、、相对误差和有效数字 设x是精确值x*的一个近似值，记e=x*-x称e为近似值x的绝对误差绝对误差，简称误差误差。|e|则称为近似值x的绝对误差限绝对误差限，简称误差限误差限。精确值x*、近似值x和误差限之间满足：x-x*x+通常记为 x*=x绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如x*=10，x=1，y*=10000，y=5虽然y是x的5倍，但在10000内差5显然比10内差1好。如果满足 称er为近似值x的相对误差相对误差。记*xxxxeer 由于x*未知，实际使用时总是将x的相对误差取为xxxxeer*r=/|x|称为近似值x的相对误差限相对误差限。|er|r.设x=1.24是由精

6、确值x*经过四舍五入得到的近似值,求x的绝对误差限和相对误差限。解解 由已知可得:1.235x*0,但计算结果显示I80,可见,虽然I0的近似误差不超过0.510-4,但随着计算步数的增加,误差明显增大。这说明这里的递推公式是数值不稳定的。事实上，由于 In=1-nIn-1，和I*n=1-nI*n-1，n=1，2，可得In-I*n=-n（In-1-I*n-1）=(-1)nn!（I0-I*0）可见,随着计算步数的增加,误差迅速放大，使结果失真。若将计算公式改写为1,2,.1,)1(11kknInInn类似地可得0,1,.,1,)(!)1(*nnkIInkIInnknkk可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。I90.0684 I70.1121 I50.1455 I30.2073 I10.3679I80.1035 I60.1268 I40.1709 I20.2642 I00.6321例如，由于10109919110110dxxIdxexe取近似值0684.0)10110(2119eI，递推可得：可见,I0已精确到小数点后四位。习题习题1 1（第（第1010页）页）1-11-1，1-21-2，1-31-3，1-41-4第一章练习题第一章练习题课间休息课间休息课间休息课间休息